A háromszög oldalfelező merőlegese

Oldalfelező merőleges fogalma

A síkon egy szakasz felezőmerőlegesének nevezzük azt az egyenest, amely a szakasz felezőpontjára illeszkedik és merőleges a szakaszra.

Tétel

A szakasz felezőmerőlegese a szakasz két végpontjától egyenlő távolságra elhelyezkedő pontok halmaza.

A háromszög köré írt kör és az oldalfelező merőlegesek kapcsolata

Tétel

A háromszög három oldalfelező merőlegese egy pontban metszi egymást. Ez a pont a háromszög köré írt körének középpontja.

Bizonyítás

Vegyük fel az $ABC$ háromszöget.

Rajzoljuk be az $AB$ és az $AC$ oldal felezőmerőlegeseit. Legyenek ezek rendre $f_{c}$ és $f_{b}$ . Ezek az egyenesek biztosan metszik egymást, hiszen a háromszög oldalai nem párhuzamosak egymással. Jelöljük a metszéspontjukat $K$ -val.

Mivel a $K$ pont illeszkedik $f_{c}$ -re, ezért a $K$ pont egyenlő távolságra van $A$ és $B$ csúcsoktól.

Mivel a $K$ pont illeszkedik $f_{b}$ -re is, ezért a $K$ pont egyenlő távolságra van $A$ és $C$ csúcsoktól is.

Tehát egyenlő távolságra van $B$ és $C$ csúcsoktól. Ez azt jelenti, hogy illeszkedik a $BC$ szakasz felezőmerőlegesére is.

Vagyis

KA = KB = KC.

Tehát az $A$ , $B$ és $C$ pontok egyenlő távolságra vannak egymástól.

Ebből következik, hogy mindhárom pont illeszkedik egy $K$ középpontú, $KA = KB = KC = r$ sugarú körre. Ez a háromszög köré írt köre.

A háromszög köré írt körének középpontja háromféleképpen helyezkedhet el a háromszöghöz képest:

1. eset: hegyesszögű háromszög esetén a háromszögön belül (mint a fenti ábrán is látható).

2. eset: derékszögű háromszög esetén az átló felezőpontjában

3. eset: tompaszögű háromszög esetén a háromszögön kívül.