A tetraéder térfogata, felszíne és hálója

A tetraéder fogalam

A háromszögalapú gúlát teraédernek nevezzük. A tetraédert (a nevéből is következően)  4 lap határolja, amelyeknek mindegyike háromszög. Ezek közül bármelyiket tekinthetjük a háromszög alapjának. Egy olyan tetraéder esetében például, amelynek az egyik szöge derékszög célszerű az alaplapjának az egyik derékszögű háromszöget tekinteni, mert ekkor minden számolás sokkal egyszerűbbé válik.

Tetraéder

A teraéder tulajdonságai

  • Minden tetraédernek 4 lapja, 4 csúcsa és 6 éle van.
  • Minden tetraédernek létezik beírt és körülírt gömbje is.
  • Ha a tetraéder alapja szabályos háromszög, oldalélei pedig egyenlő hosszúak, akkor a tetraéder magasságának talppontja a szabályos háromszög súlypontjában van.

A tetraéder térfogata és felszíne

A tetraéder alaplapjának területét T-vel, magasságát m-mel jelölve a tetraéder térfogata a következőképpen számolható ki:

(1)   \begin{equation*}V=\frac{T*m}{3} \end{equation*}

A tetraéder beírt gömbjének sugara kiszámolható a térfogat (V) és felszín (A) ismeretében.

(2)   \begin{equation*}r=\frac{3*V}{A} \end{equation*}

A tetraéder felszíne a 4 határoló háromszög területének összegével egyezik meg.

A szabályos tetraéder

A szabályos tetraéder olyan tetraéder, amelynek az oldalai és az alapjai is megegyező hosszúságúak. Azaz a határoló négy háromszög mindegyike szabályos. A szabályos tetraéder az öt szabályos test egyike, így minden éle, élszöge és lapszöge egyenlő.

A szabályos tetraéder térfogata és felszíne

A térfogat a következőképpen számítható ki:

(3)   \begin{equation*}V=\frac{a^3}{12}*\sqrt{2} \end{equation*}

A felszín kiszámításához figyelembe fogjuk venni, hogy egy szabályos háromszög területe kiszámolható a következőképp (ahol az oldal hosszúságát a-val jelüljük):

(4)   \begin{equation*}T=\frac{a^2}{4}*\sqrt{3} \end{equation*}

Innen pedig a felszín könnyen kiszámítható:

(5)   \begin{equation*}A=a^2*\sqrt{3} \end{equation*}

A szabályos tetraéder hálója