A Pitagorasz-tétel az egyik legszélesebb körben ismert matematikai tétel. A tétel a következőt mondja ki:
Ha egy háromszög derékszögű, akkor befogóinak négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével.
Ezt képlettel is le tudjuk írni, ami a következőképp fest:
A Pitagorasz-tételnek létezik másik megfogalmazása is, ez pedig a következő: Ha egy háromszög derékszögű, akkor az átfogójára emelt négyzet területe megegyezik a befogóira emelt négyzetek területének összegével.

Most pedig nézzük meg, hogyan tudjuk bizonyítani a Pitagorasz-tételt.
A Pitagorasz-tétel bizonyítása
Bizonyítani akarjuk, hogy
Ehhez vegyünk fel két oldalú négyzetet. A két négyzet területe egyenlő.
Bontsuk fel az első négyzetet egy és egy
területű négyzetre, továbbá 4 olyan derékszögű háromszögre, amelyek befogói:
és
. Ez a 4 háromszög egybevágó egymással és az eredeti háromszöggel, tehát a területük egyenlő.
A második oldalú négyzetben vegyünk fel egy négyszöget a következőféleképpen:
- oldalai egyenlő hosszúak (ezek derékszögű háromszögek átfogói)
- szögei 90°-osak (egybevágó derékszögű háromszögben
90°)
Tehát a négyszögünk egy négyzet. Vagyis ha a derékszögű háromszögek átfogója , akkor a területe
.
Így a két nagy négyzet területéből kivonva a háromszögek területét, a fennmaradó területek egyenlőek lesznek.

Pitagorasz-tétel megfordítása
Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.
Pitagorasz-tétel alkalmazása
- Ha egy derékszögű háromszögben adott két oldal hossza, a tétel segítségével kiszámolható a harmadik oldal hossza.
- Ha egy háromszögben adott mindhárom oldal hossza, kiszámítható, hogy a háromszög leghosszabb oldalával szemben lévő szög milyen.
- Ha
, akkor a háromszög tompaszögű.
- Ha
, akkor a háromszög derékszögű.
- Ha
, akkor a háromszög hegyesszögű.
- Ha
Példa a tétel alkalmazására
Adott egy derékszögű háromszög, melynek befogói 6 cm és 8 cm. Számítsuk ki az átfogó hosszát!
A feladatból tudjuk a háromszög befogóinak hosszát:
A Pitagorasz-tétel egyenlete:
Az adatokat beírva a képletbe:
Tehát a háromszög átfogójának hossza 10 cm.
Gyakorlati példa a Pitagorasz-tétel alkalmazására
Egy vitorlás hajó árbócának a magasságát szeretnénk meghatározni. A következőket tudjuk:
- Mind a két vitorla, a fővitorla (a képen kékkel jelölve) és az orrvitorla (narancssárgával) derékszögű háromszög alakúak.
- A két vitorla átfogója megegyező hosszúságú.
- A fővitorla hajópadlóval párhuzamos oldala kétszer olyan hosszú, mint az orrvitorláé.
- A fővitorla kétszer olyan távol kezdődik a padlótól, mint az orrvitorla.
- Az orrvitorla hajópadlóval párhuzamos oldala ugyanolyan hosszú, mint amilyen magasságban a fővitorla kezdődik a padlótól számítva.
- Az orrvitorla hajópadlóval párhuzamos oldala 2 méter hosszú.

Haladjunk szépen, lépésről-lépésre. Először is írjuk fel, hogy mit kell kiszámolnunk: az árbóc hosszát, azaz az szakaszt.
Jelöljük el a vitorlák oldalait, majd írjuk fel, amit tudunk. Legyen a fővitorla átfogója , befogói pedig
és
. Legyen az orrvitorla átfogója
és a befogók pedig
és
. Ekkor adataink a következők:
Mivel derékszögű háromszögekről van szó, így mind a két esetben fel tudjuk írni a Pitagorasz-tételt:
Mivel tudjuk, hogy , így azt is tudjuk, hogy
. Ebből pedig következik:
Tudjuk, hogy és
, azaz:
.
Tudjuk továbbá, hogy és
, azaz
.
Mivel , így tudjuk, hogy
(mivel 2=CB+1).
Innen pedig fel tudjuk írni azt, hogy . Helyettesítsük ezt be a
egyenletbe.
Azaz , tehát
.
Tudjuk továbbá, hogy , azaz
.
Tehát az árbóc hossza 7.5 méter.