Pitagorasz-tétel - Matek Neked!

A Pitagorasz-tétel az egyik legszélesebb körben ismert matematikai tétel. A tétel a következőt mondja ki:
Ha egy háromszög derékszögű, akkor befogóinak négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével.

Ezt képlettel is le tudjuk írni, ami a következőképp fest:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

A Pitagorasz-tételnek létezik másik megfogalmazása is, ez pedig a következő: Ha egy háromszög derékszögű, akkor az átfogójára emelt négyzet területe megegyezik a befogóira emelt négyzetek területének összegével.

Most pedig nézzük meg, hogyan tudjuk bizonyítani a Pitagorasz-tételt.

A Pitagorasz-tétel bizonyítása

Bizonyítani akarjuk, hogy

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Ehhez vegyünk fel két $a + b$ oldalú négyzetet. A két négyzet területe egyenlő.

Bontsuk fel az első négyzetet egy $t_{1} = a^{2}$ és egy $t_{2} = b^{2}$ területű négyzetre, továbbá 4 olyan derékszögű háromszögre, amelyek befogói: $a$ és $b$ . Ez a 4 háromszög egybevágó egymással és az eredeti háromszöggel, tehát a területük egyenlő.

A második $a + b$ oldalú négyzetben vegyünk fel egy négyszöget a következőféleképpen:

oldalai egyenlő hosszúak (ezek derékszögű háromszögek átfogói)
szögei 90°-osak (egybevágó derékszögű háromszögben $\alpha + \beta =$ 90°)

Tehát a négyszögünk egy négyzet. Vagyis ha a derékszögű háromszögek átfogója $c$ , akkor a területe $t_{3} = c^{2}$ .

Így a két nagy négyzet területéből kivonva a háromszögek területét, a fennmaradó területek egyenlőek lesznek.

Pitagorasz-tétel megfordítása

Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

Pitagorasz-tétel alkalmazása

Ha egy derékszögű háromszögben adott két oldal hossza, a tétel segítségével kiszámolható a harmadik oldal hossza.
Ha egy háromszögben adott mindhárom oldal hossza, kiszámítható, hogy a háromszög leghosszabb oldalával szemben lévő szög milyen.
- Ha $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ , akkor a háromszög tompaszögű.
- Ha $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , akkor a háromszög derékszögű.
- Ha $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ , akkor a háromszög hegyesszögű.

Példa a tétel alkalmazására

Adott egy derékszögű háromszög, melynek befogói 6 cm és 8 cm. Számítsuk ki az átfogó hosszát!

A feladatból tudjuk a háromszög befogóinak hosszát:

$a = 6 \quad \textit{és} \quad b = 8$

A Pitagorasz-tétel egyenlete:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Az adatokat beírva a képletbe:

$6^{2} + 8^{2} = c^{2}$

$36 + 64 = c^{2}$

$100 = c^{2}$

$c = 10$

Tehát a háromszög átfogójának hossza 10 cm.

Gyakorlati példa a Pitagorasz-tétel alkalmazására

Egy vitorlás hajó árbócának a magasságát szeretnénk meghatározni. A következőket tudjuk:

Mind a két vitorla, a fővitorla (a képen kékkel jelölve) és az orrvitorla (narancssárgával) derékszögű háromszög alakúak.
A két vitorla átfogója megegyező hosszúságú.
A fővitorla hajópadlóval párhuzamos oldala kétszer olyan hosszú, mint az orrvitorláé.
A fővitorla kétszer olyan távol kezdődik a padlótól, mint az orrvitorla.
Az orrvitorla hajópadlóval párhuzamos oldala ugyanolyan hosszú, mint amilyen magasságban a fővitorla kezdődik a padlótól számítva.
Az orrvitorla hajópadlóval párhuzamos oldala 2 méter hosszú.

Haladjunk szépen, lépésről-lépésre. Először is írjuk fel, hogy mit kell kiszámolnunk: az árbóc hosszát, azaz az $AF$ szakaszt.

Jelöljük el a vitorlák oldalait, majd írjuk fel, amit tudunk. Legyen a fővitorla átfogója $c$ , befogói pedig $CD=a$ és $AC=b$ . Legyen az orrvitorla átfogója $f$ és a befogók pedig $AB=d$ és $BE=e$ . Ekkor adataink a következők: