Hatványozás

A hatványozás fogalma

A hatványozás egy matematikai művelet. Jelölése:

(1)   \begin{equation*}a^b\end{equation*}

Itt az a szám a hatvány alapja, míg a b a hatvány kitevője. Abban az esetben, ha b pozitív egész szám, akkor a művelet a következőt jelenti:

Az a számot b darabszor össze kell szoroznunk önmagával. Például, legyen a=5 és b=3.

(2)   \begin{equation*}a^b=5^3=5*5*5=125\end{equation*}

A hatványozás szabályai

Nulla és egy alapú hatványok

A nulla minden hatványa nulla. Kivétel ez alól, ha a kitevő is nulla, ez nincsen értelmezve.

Az egy minden hatványa egy.

Tegyük fel most, hogy a valós szám és vizsgáljuk meg, hogy hogyan kell hatványozni különböző kitevők esetében.

A kitevő b=0

Amennyiben a kitevő nulla, úgy minden a valós számnak 1 a 0. hatványa.

(3)   \begin{equation*}a^0=1\end{equation*}

A kitevő pozitív egész szám

Ezt már a bevezetőben említettük. Itt az a számot önmagával b-szer meg kell szorozni. Ebből is következik, hogy minden valós szám első hatványa önmaga.

(4)   \begin{equation*}a^b= \underbrace{a*a...*a}_{b\quad darab} \end{equation*}

A kitevő negatív egész szám

Amennyiben a hatvány kitevője -b negatív egész szám, úgy a hatvány értéke a pozitív kitevővel vett b hatvány reciproka:

(5)   \begin{equation*}a^ { -b } = \frac{1}{a^b} \end{equation*}

Fontos megjegyezni, hogy ebben az esetben a nem lehet nulla, ugyanis akkor a tört nem értelmezhető.

A kitevő racionális szám

Egy racionális számot fel lehet írni p/q alakban, ahol p egész és q egytől különböző pozitív egész szám. Legyen továbbá a hatvány alapja nemnegatív valós szám. Ekkor, ha b=p/q:

(6)   \begin{equation*}a^b= a^ {\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}\end{equation*}

A hatványozás azonosságai

Szorzat hatványozása

(7)   \begin{equation*}(a*b)^n= a^n* b^n \end{equation*}

Azaz egy szorzat tényezőinek a hatványa megegyezik a tényezők hatványának a szorzatával.

Tört hatványozása

(8)   \begin{equation*} \left( \frac{a}{b} \right)^n=\frac{a^n}{b^n} \) \end{equation*}

Azaz egy törtet hatványozhatunk úgy is, hogy a számlálót és a nevezőt külön hatványozzuk.

Hatvány hatványozása

(9)   \begin{equation*} \left(a^{n} \right) ^{k}=a^{n*k} \end{equation*}

Azaz egy hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy a két kitevőt összeszorozzuk.

Azonos alapú hatványok szorzása

(10)   \begin{equation*} a^{n}*a^{m}=a^{n+m} \end{equation*}

Tehát azonos alapú hatványok szorzása esetén az alapot kell a kitevők összegére emelni.

Azonos alapú hatványok osztása

(11)   \begin{equation*} \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} \end{equation*}

Tehát azonos alapú hatványok osztása esetén az alapot kell a kitevők különbségére emelni. A számláló kitevőjéből vonjuk ki a nevező kitevőjét.