Logaritmus fogalma és azonosságok

A logaritmus fogalma

A továbbiakban legyen a egy tetszőleges pozitív valós szám. Ennek tudjuk értelmezni bármilyen valós kitevőjű hatványát. Azt korábban láttuk, hogy az f_a\left(x\right)=a^x exponenciális függvény folytonos, és szigorúan monoton ha a\neq 1, értékkészlete pedig a pozitív valós számok halmaza. Ekkor viszont f_a kölcsönösen egyértelmű (másszóval bijektív), így tehát ha a\neq 1, akkor tetszőleges b pozitív valós számra egyértelműen létezik olyan x valós szám, melyre

    \[a^x=b.\]

Ezt az x számot nevezzük a b szám a alapú logaritmusának, és x-re ekkor az

    \[x=\log_a\left(b\right)\]

jelölést alkalmazzuk, azaz ekkor

    \[a^{\log_a\left(b\right)}=b.\]

A logaritmus alapja

A \log_a\left(b\right) kifejezésben lévő a számot a logaritmus alapjának nevezzük. Néhány kitüntetett logaritmus-alap esetén szokás egyszerűsített jelölésekkel is élni.

A természetes alapú logaritmus

Ha a logaritmus alapja az Euler-féle e szám, amit például az \left(1+\frac{1}{n}\right)^n sorozat határértékeként is megismerhettünk (e\approx 2.718), akkor az

    \[\ln\left(b\right)=\log_e\left(b\right)\]

jelölést használjuk. Sok szakcikkben alkalmazzák az \ln jelölés helyett a \log jelölést is, azaz egyszerűen elhagyják a jelölésből a logaritmus alapját:

    \[\log\left(b\right)=\ln\left(b\right).\]

Tízes alapú logaritmus

Másik gyakori kitüntetett logaritmus-alap a tízes alapú logaritmus, ezt \mathrm{lg} jelöli:

    \[\mathrm{lg}\left(b\right)=\log_{10}\left(b\right).\]

Logaritmus azonosságok

A logaritmus-azonosságok és a hatványazonosságok szorosan összefüggnek, hiszen már a logaritmus fogalmát is az exponenciális függvényekkel vezettük be. Jelöljön c a továbbiakban valamilyen pozitív valós számot. Ekkor a definíció szerint

    \[a^{\log_a\left(b\cdot c\right)}=b\cdot c.\]

Másrészt b=a^{\log_a\left(b\right)} és c=a^{\log_a\left(c\right)} következtében

    \[b\cdot c=a^{\log_a\left(b\right)}\cdot a^{\log_a\left(c\right)}=a^{\log_a\left(b\right)+\log_a\left(c\right)},\]

ahol az utolsó egyenlőséget a hatványazonosságból tudjuk. Ekkor tehát

    \[a^{\log_a\left(b\cdot c\right)}=a^{\log_a\left(b\right)+\log_a\left(c\right)}.\]

Az exponenciális függvény ugyanakkor kölcsönösen egyértelmű, innen pedig már tudjuk, hogy igaz a

    \[\log_a\left(b\cdot c\right)=\log_a\left(b\right)+\log_a\left(c\right)\]

összefüggés is. Szintén definíció szerint

    \[a^{\log_a\left(b^c\right)}=b^c.\]

Ugyanakkor b=a^{\log_a\left(b\right)}, így

    \[b^c=\left(a^{\log_a\left(b\right)}\right)^c.\]

Szintén a hatványazonosságoknál látottak szerint ez épp

    \[\left(a^{\log_a\left(b\right)}\right)^c=a^{c\cdot\log_a\left(b\right)},\]

vagyis

    \[a^{\log_a\left(b^c\right)}=a^{c\cdot\log_a\left(b\right)}.\]

Végül ismételten az exponenciális függvény bijektivitása (kölcsönös egyértelműsége) miatt felírható a

    \[\log_a\left(b^c\right)=c\cdot\log_a\left(b\right)\]

logaritmus-azonosság. Itt fontos megjegyezni, hogy ennél az azonosságnál sehol sem használtuk ki, hogy c pozitív lenne, ezért az előbbi logaritmus-azonosság tetszőleges valós c esetén is igaz. Ezért, és az először látott logaritmus-azonosság következtében pozitív c-re

    \[\log_a\left(\frac{b}{c}\right)=\log_a\left(b\right)-\log_a\left(c\right)\]

is teljesülni fog. Tegyük most fel, hogy b\neq 1 pozitív szám. Tudjuk, hogy

    \[c=a^{\log_a\left(c\right)}=b^{\log_b\left(c\right)},\]

valamint

    \[b=a^{\log_a\left(b\right)},\]

ezért ezt behelyettesítve

    \[a^{\log_a\left(c\right)}=b^{\log_b\left(c\right)}=\left(a^{\log_a\left(b\right)}\right)^{\log_b\left(c\right)}.\]

Hatványazonosság szerint

    \[\left(a^{\log_a\left(b\right)}\right)^{\log_b\left(c\right)}=a^{\log_a\left(b\right)\cdot\log_b\left(c\right)},\]

ezért

    \[a^{\log_a\left(c\right)}=a^{\log_a\left(b\right)\cdot\log_b\left(c\right)},\]

amiből végül a

    \[\frac{\log_a\left(c\right)}{\log_a\left(b\right)}=\log_b\left(c\right)\]

logaritmus-azonosság adódik.