Logaritmus fogalma és azonosságok

A logaritmus fogalma

A továbbiakban legyen $a$ egy tetszőleges pozitív valós szám. Ennek tudjuk értelmezni bármilyen valós kitevőjű hatványát. Azt korábban láttuk, hogy az $f_a\left(x\right)=a^x$ exponenciális függvény folytonos, és szigorúan monoton ha $a\neq 1$ , értékkészlete pedig a pozitív valós számok halmaza. Ekkor viszont $f_a$ kölcsönösen egyértelmű (másszóval bijektív), így tehát ha $a\neq 1$ , akkor tetszőleges $b$ pozitív valós számra egyértelműen létezik olyan $x$ valós szám, melyre

$a^x=b.$

Ezt az $x$ számot nevezzük a $b$ szám $a$ alapú logaritmusának, és $x$ -re ekkor az

$x=\log_a\left(b\right)$

jelölést alkalmazzuk, azaz ekkor

$a^{\log_a\left(b\right)}=b.$

A logaritmus alapja

A $\log_a\left(b\right)$ kifejezésben lévő $a$ számot a logaritmus alapjának nevezzük. Néhány kitüntetett logaritmus-alap esetén szokás egyszerűsített jelölésekkel is élni.

A természetes alapú logaritmus

Ha a logaritmus alapja az Euler-féle $e$ szám, amit például az $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ sorozat határértékeként is megismerhettünk ( $e\approx 2.718$ ), akkor az

$\ln\left(b\right)=\log_e\left(b\right)$

jelölést használjuk. Sok szakcikkben alkalmazzák az $\ln$ jelölés helyett a $\log$ jelölést is, azaz egyszerűen elhagyják a jelölésből a logaritmus alapját:

$\log\left(b\right)=\ln\left(b\right).$

Tízes alapú logaritmus

Másik gyakori kitüntetett logaritmus-alap a tízes alapú logaritmus, ezt $\mathrm{lg}$ jelöli:

$\mathrm{lg}\left(b\right)=\log_{10}\left(b\right).$

Logaritmus azonosságok

A logaritmus-azonosságok és a hatványazonosságok szorosan összefüggnek, hiszen már a logaritmus fogalmát is az exponenciális függvényekkel vezettük be. Jelöljön $c$ a továbbiakban valamilyen pozitív valós számot. Ekkor a definíció szerint

$a^{\log_a\left(b\cdot c\right)}=b\cdot c.$

Másrészt $b=a^{\log_a\left(b\right)}$ és $c=a^{\log_a\left(c\right)}$ következtében

$b\cdot c=a^{\log_a\left(b\right)}\cdot a^{\log_a\left(c\right)}=a^{\log_a\left(b\right)+\log_a\left(c\right)},$

ahol az utolsó egyenlőséget a hatványazonosságból tudjuk. Ekkor tehát

$a^{\log_a\left(b\cdot c\right)}=a^{\log_a\left(b\right)+\log_a\left(c\right)}.$

Az exponenciális függvény ugyanakkor kölcsönösen egyértelmű, innen pedig már tudjuk, hogy igaz a

$\log_a\left(b\cdot c\right)=\log_a\left(b\right)+\log_a\left(c\right)$

összefüggés is. Szintén definíció szerint

$a^{\log_a\left(b^c\right)}=b^c.$

Ugyanakkor $b=a^{\log_a\left(b\right)}$ , így

$b^c=\left(a^{\log_a\left(b\right)}\right)^c.$

Szintén a hatványazonosságoknál látottak szerint ez épp

$\left(a^{\log_a\left(b\right)}\right)^c=a^{c\cdot\log_a\left(b\right)},$

vagyis

$a^{\log_a\left(b^c\right)}=a^{c\cdot\log_a\left(b\right)}.$

Végül ismételten az exponenciális függvény bijektivitása (kölcsönös egyértelműsége) miatt felírható a

$\log_a\left(b^c\right)=c\cdot\log_a\left(b\right)$

logaritmus-azonosság. Itt fontos megjegyezni, hogy ennél az azonosságnál sehol sem használtuk ki, hogy $c$ pozitív lenne, ezért az előbbi logaritmus-azonosság tetszőleges valós $c$ esetén is igaz. Ezért, és az először látott logaritmus-azonosság következtében pozitív $c$ -re

$\log_a\left(\frac{b}{c}\right)=\log_a\left(b\right)-\log_a\left(c\right)$

is teljesülni fog. Tegyük most fel, hogy $b\neq 1$ pozitív szám. Tudjuk, hogy

$c=a^{\log_a\left(c\right)}=b^{\log_b\left(c\right)},$

valamint

$b=a^{\log_a\left(b\right)},$

ezért ezt behelyettesítve

$a^{\log_a\left(c\right)}=b^{\log_b\left(c\right)}=\left(a^{\log_a\left(b\right)}\right)^{\log_b\left(c\right)}.$

Hatványazonosság szerint

$\left(a^{\log_a\left(b\right)}\right)^{\log_b\left(c\right)}=a^{\log_a\left(b\right)\cdot\log_b\left(c\right)},$

ezért

$a^{\log_a\left(c\right)}=a^{\log_a\left(b\right)\cdot\log_b\left(c\right)},$

amiből végül a

$\frac{\log_a\left(c\right)}{\log_a\left(b\right)}=\log_b\left(c\right)$

logaritmus-azonosság adódik.