Mértani sorozat - Matek Neked!

A mértani sorozat fogalma

Egy számsorozatot mértani sorozatnak (vagy geometriai sorozatnak) nevezünk, ha a sorozat egymást követő tagjainak a hányadosa állandó. Jelölje $a_1$ a mértani sorozat kezdő tagját, $a_n$ jelölje az $n$ -edik tagot. Ekkor alkalmas $q$ számmal a sorozatra az

$a_n=a_{n-1}* q$

rekurzió adható, ahol $n\geq 2$ . Ezt a $q$ számot a mértani sorozat hányadosának (kvóciensének) nevezzük.

A mértani sorozat n-edik tagja

Teljes indukcióval egyszerűen megadható a sorozat zárt alakja, amivel tetszőleges $n$ -re megadható $a_n$ értéke a sorozat kezdő tagjának és kvóciensének segítségével:

$a_n=a_1*q^{n-1}$

A mértani sorozat tagjainak összege

Vezessük be most a mértani sorozat első $n$ tagjának összegét adó $S_n$ sorozatot:

$S_n=\left(a_1+a_2+\ldots+a_n\right).$

Behelyettesítve az $a_n$ -re adott zárt alakkal:

$S_n=\left(a_1+a_1\cdot q+\ldots+a_1\cdot q^{n-1}\right)=a_1\cdot\left(1+q+\ldots+q^{n-1}\right).$

Ismert, hogy tetszőleges $n$ pozitív egész számra és tetszőleges $a;\,b$ számokra

$a^n-b^n=\left(a-b\right)\cdot\left(a^{n-1}+a^{n-2}\cdot b+\ldots+a\cdot b^{n-2}+b^{n-1}\right).$

Most ezt az azonosságot $a=q$ -ra és $b=1$ -re felírva

$q^n-1=\left(q-1\right)\cdot\left(1+q+\ldots+q^{n-1}\right)$

adódik, tehát ha $q\neq 1$ , akkor

$\left(1+q+\ldots+q^{n-1}\right)=\frac{q^n-1}{q-1}.$

Ezt felhasználva már adódik a mértani sor első $n$ tagjának összegét mgeadó képlet:

$S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}.$

Ha pedig $q=1$ , akkor:

$S_n=a_1\cdot n$

Fontos megemlíteni még a mértani közép tulajdonságot. Ez azt jelenti, hogy egy mértani sorozat bármely elemének abszlolút értéke megegyezik a hozzá képest szimmetrikusan elhelyezkedő elemek mértani közepével, amennyiben ezek léteznek.

$|a_n|=\sqrt{a_{n-k}\cdot a_{n+k}}$

ahol $n>k$ .