Mértani sorozat

A mértani sorozat fogalma

Egy számsorozatot mértani sorozatnak (vagy geometriai sorozatnak) nevezünk, ha a sorozat egymást követő tagjainak a hányadosa állandó. Jelölje a_1 a mértani sorozat kezdő tagját, a_n jelölje az n-edik tagot. Ekkor alkalmas q számmal a sorozatra az

    \[a_n=a_{n-1}* q\]

rekurzió adható, ahol n\geq 2. Ezt a q számot a mértani sorozat hányadosának (kvóciensének) nevezzük.

A mértani sorozat n-edik tagja

Teljes indukcióval egyszerűen megadható a sorozat zárt alakja, amivel tetszőleges n-re megadható a_n értéke a sorozat kezdő tagjának és kvóciensének segítségével:

    \[a_n=a_1*q^{n-1}\]

A mértani sorozat tagjainak összege

Vezessük be most a mértani sorozat első n tagjának összegét adó S_n sorozatot:

    \[S_n=\left(a_1+a_2+\ldots+a_n\right).\]

Behelyettesítve az a_n-re adott zárt alakkal:

    \[S_n=\left(a_1+a_1\cdot q+\ldots+a_1\cdot q^{n-1}\right)=a_1\cdot\left(1+q+\ldots+q^{n-1}\right).\]

Ismert, hogy tetszőleges n pozitív egész számra és tetszőleges a;\,b számokra

    \[a^n-b^n=\left(a-b\right)\cdot\left(a^{n-1}+a^{n-2}\cdot b+\ldots+a\cdot b^{n-2}+b^{n-1}\right).\]

Most ezt az azonosságot a=q-ra és b=1-re felírva

    \[q^n-1=\left(q-1\right)\cdot\left(1+q+\ldots+q^{n-1}\right)\]


adódik, tehát ha q\neq 1, akkor

    \[\left(1+q+\ldots+q^{n-1}\right)=\frac{q^n-1}{q-1}.\]

Ezt felhasználva már adódik a mértani sor első n tagjának összegét mgeadó képlet:

    \[S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}.\]