Integrálás

Határozott integrál

Legyenek a<b valós számok, valamint legyen f\left[a;b\right]\to\mathbb{R} egy, az \left[a;b\right] intervallumon értelmezett valós függvény. Szeretnénk meghatározni a függvénygrafikon alatti előjeles területet. Ez nem más, mint a függvénygrafikon és az x tengely, valamint az \left(a;0\right) illetve \left(b;0\right) tengelypontokon át húzott függőleges egyenesek által határolt tartomány területe, az x tengely alá eső részeket negatív előjellel véve.

Ezt a területet úgy szeretnénk kiszámolni, hogy adunk rá egy alsó-, illetve egy felső becslést, majd ezt a becslést lépésről lépésre finomítjuk.Az n-edik lépésben tehát osszuk fel n részre az \left[a;b\right] intervallumot: jelölje 0\leq k\leq n esetén x^{\left(n\right)}k a k-adik osztópontot, ahol tehát a=x_0;\,b=x_n és x_k{k+1}. A következő lépésben az előző felbontást finomítsuk tovább, azaz mindig a meglévő osztópont mellé vegyünk fel egy újabbat. Ezek után mindegyik felosztott szakasz fölé emeljünk téglalapokat. Az alsó becsléshez az \left[x^{\left(n\right)}k;x^{\left(n\right)}{k+1}\right] részintervallumra emelt téglalapnak használjuk f\left(x^{\left(n\right)}k\right) és f\left(x^{\left(n\right)}{k+1}\right) minimumát a téglalapok magasságaként, míg a felső becsléshez ezen függvényértékek maximumát. Így az előjeles területekre vett alső becslés az n-edik lépésben az egyes téglalapok területeinek összege, azaz

L^{\left(n\right)}=\sum_{k=0}^{n-1}{\left(x_{k+1}-x_k\right)\cdot\min\left{f\left(x^{\left(n\right)}k\right);f\left(x^{\left(n\right)}{k+1}\right)\right}},

a felső becslés pedig hasonló módon

U^{\left(n\right)}=\sum_{k=0}^{n-1}{\left(x_{k+1}-x_k\right)\cdot\max\left{f\left(x^{\left(n\right)}k\right);f\left(x^{\left(n\right)}{k+1}\right)\right}}.

Figyeljük meg, hogy L^{\left(n\right)} egy monoton növekvő sorozat, hiszen minden lépésben egy téglalapot bontottunk két téglalapra, ezek előjeles magassága pedig nem kisebb az előző lépésben felírt magasságnál. Hasonlóképpen láthatjuk, hogy U^{\left(n\right)} monoton csökken. Ugyanakkor ha I jelöli a keresett előjeles területet, fennáll

L^{\left(n\right)}\leq I\leq U^{\left(n\right)}.

Azt mondjuk, hogy az

x^{\left(n\right)}=\left{x^{\left(n\right)}k\colon 0\leq k\leq n\right} felosztássorozat tetszőlegesen finomítható, ha

\lim{n\to\infty}{\max_k\left{\left|x_{k+1}-x_k\right|\right}}=0,

azaz ha n növelésével a felosztott intervallum leghosszabb részintervalluma is tetszőleges pozitív hossz alá megy. Az f függvényt az \left[a;b\right] intervallumon Riemann-integrálhatónak nevezzük, ha az alsó- és felső közelítések konvergálnak, és ez a hatérérték közös; azaz

\lim_{n\to\infty}{L^{\left(n\right)}}=\lim_{n\to\infty}{U^{\left(n\right)}}=I

esetén. Ekkor az I számot az f függvény határozott integráljának nevezzük az \left[a;b\right] intervallumon, és az

I=\int_a^b{f\left(x\right)}\,\mathrm{d}x

jelölést alkalmazzuk rá. Az intervallum a keztdőpontját az integrál alsó határának, b végpontját pedig az integrál felső határának nevezzük.

Improprius integrál

Ha az f függvény az \left[a;b\right] intervallum valamelyik végpontjában már nem értelmes, vagy az alsó határt -\infty-nek, illetve a felső határt +\infty-nek szeretnénk választani, és az így kapott (félig) nyílt, és esetlegesen nem is korlátos intervallumokon szeretnénk meghatározni a függvény alatti előjeles területet, egyszerűen az ebbe az intervallumba eső zárt részintervallumokra kell felírnunk az előzőekben tárgyaltak szerint a határozott integrált, majd a végpontokban határértéket számítani, amennyiben ez létezik. Az ilyen típusú integrálokat improprius integrálnak nevezzük. Például ha f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} valós függvény a teljes valós számegyenesen értelmes, akkor

\int_{-\infty}^{\infty}{f\left(x\right)}\,\mathrm{d}x=\lim_{a\to\infty}\int_{-a}^{a}{f\left(x\right)}\,\mathrm{d}x.

Ha ez a határérték létezik, akkor azt mondjuk, hogy f Riemann-integrálható. A folytonos függvények például mindig Riemann-integrálhatók.

Primitív függvény

Legyenek most f és g Riemann-integrálható függvények, valamint a;\,b;\,c;\,\alpha;\,\beta tetszőleges valós számok. Tegyük fel, hogy a<b<c. Ekkor egyrészt az integrál \emph{lineáris}, azaz

\int_a^b{\left(\alpha\cdot f\left(x\right)+\beta\cdot g\left(x\right)\right)}\,\mathrm{d}x=\alpha\cdot\int_a^b{f\left(x\right)}\,\mathrm{d}x+\beta\cdot\int_a^b{g\left(x\right)}\,\mathrm{d}x,

másrészt pedig

\int_a^c{f\left(x\right)}\,\mathrm{d}x=\int_a^b{f\left(x\right)}\,\mathrm{d}x+\int_b^c{f\left(x\right)}\,\mathrm{d}x.

Ha f páros, és a>0, akkor

\int_{-a}^a{f\left(x\right)}\,\mathrm{d}x=2\cdot\int_0^a{f\left(x\right)}\,\mathrm{d}x,

míg páratlan f esetén

\int_{-a}^a{f\left(x\right)}\,\mathrm{d}x=0.

Legyen most f egy Riemann-integrálható függvény. Az F függvényt f primitív függvényének hívjuk, ha F'\left(x\right)=f\left(x\right). Ha F_1 és F_2 is primitív függvényei f-nek, akkor

F_1'\left(x\right)-F_2'\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(x\right)=0,

ezért F_1 és F_2 csak konstansban térhetnek el, tehát ekkor valamilyen c\in\mathbb{R} számra

F_2\left(x\right)=F_1\left(x\right)+c.

Határozatlan integrál

Newton-Leibniz-tétel: ha F primitív függvénye f-nek, akkor igaz a következő egyenlőség:

\int_a^b{f\left(x\right)}\,\mathrm{d}x=F\left(b\right)-F\left(a\right).

A Newton-Leibniz-formula miatt az F primitív függvényt szokás f antideriváltjának, illetve határozatlan integráljának is nevezni. Erre az

\int{f\left(x\right)}\,\mathrm{d}x

jelölést használjuk. A korábbi megállapításunk értelmében a primitív függvények konstansban eltérhetnek, tehát ha F'=f, akkor

\int{f\left(x\right)}\,\mathrm{d}x=F\left(x\right)+c,

ahol c tetszőleges valós szám. Figyeljük meg, hogy a határozott integrál c értékétől teljesen független, hiszen a Newton–Leibniz-formula szerint ekkor

\int_a^b{f\left(x\right)}\,\mathrm{d}x=\left(F\left(b\right)+c\right)-\left(F\left(a\right)+c\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right),

így mindegy, hogy melyik primitív függvényt találtuk meg. Persze mivel c értéke egyébként is kiesik, az egyszerűség kedvéért a határozott integrál számításakor érdemes c-t 0-nak választani.

Alapintegrálok

Mivel láttuk, hogy a deriválás és az integrálás között milyen szoros a kapcsolat, néhány elemi függvénynek azonnal meg tudjuk mondani a primitív függvényét. Például:

\int{x^{\alpha}}\,\mathrm{d}x & = & \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c\,\,\text{ha }\alpha\neq -1\

\int{\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x & = & \ln\left(\left|x\right|\right)+c\

\int{a^x}\,\mathrm{d}x & = & \frac{a^x}{\ln\left(a\right)}+c\

\int{\sin\left(x\right)}\,\mathrm{d}x & = & -\cos\left(x\right)+c\

\int{\cos\left(x\right)}\,\mathrm{d}x & = & \sin\left(x\right)+c\

\int{\mathrm{sh}\left(x\right)}\,\mathrm{d}x & = & \mathrm{ch}\left(x\right)+c\

\int{\mathrm{ch}\left(x\right)}\,\mathrm{d}x & = & \mathrm{sh}\left(x\right)+c.

Parciális integrálás

A határozatlan integrál kiszámítása azonban nem mindig ilyen egyszerű feladat, általában nem ismerjük fel az integrálandó függvényt (ezt szokás integrandusnak is nevezni), mint közvetlen deriváltat. Az egyik nagyon hasznos eljárás az úgynevezett parciális integrálás. Ez a szorzatra vonatkozó deriválási szabályon alapszik. Ha f és g deriválható függvények, akkor

\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)'=f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right),

így ha vesszük ezen egyenlőség mindkét oldalának határozatlan integrálját, átrendezés után

\int{f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)}\,\mathrm{d}x=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-\int{f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)}\,\mathrm{d}x+c

adódik. Például ha az x\cdot\sin\left(x\right) függvényt szeretnénk integrálni, első ránézésre nem tudnánk megadni a primitív függvényét, de ha úgy tekintünk rá, mint f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right) alakú függvényre, ahol f\left(x\right)=-\cos\left(x\right) és g\left(x\right)=x, akkor

\int{x\cdot\sin\left(x\right)}\,\mathrm{d}x=\int{f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)}\,\mathrm{d}x,

így a parciális integrálás szabálya szerint ekkor

\int{x\cdot\sin\left(x\right)}\,\mathrm{d}x=-x\cdot\cos\left(x\right)-\int{\left(-\cos\left(x\right)\right)}\,\mathrm{d}x=-x\cdot\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)+c,

hiszen g'\left(x\right)=1.

Helyettesítéses integrálás

Egy másik gyakran használt metódus a helyettesítéses integrálás, mely az összetett függvények deriválásával van szoros összefüggésben. Tegyük fel, hogy g deriválható az \left[a;b\right] intervallumon, és itt g' folytonos. Ekkor

\int_{g\left(a\right)}^{g\left(b\right)}{f\left(x\right)}\,\mathrm{d}x=\int_a^b{f\left(g\left(t\right)\right)\cdot g'\left(t\right)}\,\mathrm{d}t.

Tehát itt x-et t-nek egy g\left(t\right) függvényeként kezeljük. Tekintsük például a következő integrált:

\int_0^1{\sqrt{1-x^2}}\,\mtahrm{d}x.

Alkalmazzuk az x=\sin\left(t\right) helyettesítést, tehát g\left(t\right)=\sin\left(t\right). Ekkor persze 0=\sin\left(0\right), 1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) és g'\left(t\right)=\cos\left(t\right), így

\int_0^1{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-\sin^2\left(t\right)}\cdot\cos\left(t\right)}\,\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos^2\left(t\right)}\,\mathrm{d}x,

használva a \sin^2\left(t\right)+\cos^2\left(t\right)=1 azonosságot, valamint azt, hogy a \left[0;\frac{\pi}{2}\right] intervallumon \cos\left(t\right)\geq 0, így itt \sqrt{\cos^2\left(t\right)}=\left|\cos\left(t\right)\right|=\cos\left(t\right). Használva a

\cos\left(2\cdot t\right)=2\cdot\cos^2\left(t\right)-1

azonosságot, átrendezve

\cos^2\left(t\right)=\frac{\cos\left(2\cdot t\right)+1}{2}

adódik, így az integrál linearitása miatt

\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos^2\left(t\right)}\,\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\cos\left(2\cdot t\right)+1}{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos\left(2\cdot t\right)}\,\mathrm{d}t+\int_0^{\frac{\pi}{2}}{1}\,\mathrm{d}t\right).

Ezeket pedig már könnyen tudjuk integrálni:

\int{\cos\left(\alpha\cdot x\right)}\,\mathrm{d}x=\frac{\sin\left(\alpha\cdot x\right)}{\alpha}+c,

ha \alpha\neq 0, így a Newton-Leibniz-formulát alkalmazva

\int_0^1{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot\left(\left(\frac{\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right)}{2}-\frac{\sin\left(2\cdot 0\right)}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{2}-0\right)\right)=\frac{\pi}{4}.