A gömb térfogata és felszíne

A gömb azon pontok mértani helye a térben, melyek egy adott ponttól legfeljebb adott távolságra vannak.
Az adott pontot a gömb középpontjának, az adott távolságot a gömb sugarának nevezzük. Jelölések:

Jelölések:

  • A gömb középpontját O szokta jelölni.
  • A gömb sugárat R szokta jelölni.
  • Azokat a köröket, amelyeknek a középpontja megegyezik a gömb középpontjával a gömb főköreinek nevezzük.
A gömb területe és felszíne

A gömb térfogata

A gömb térfogatát V-vel szoktuk jelölni, kiszámolni pedig a következőképpen kell:

(1)   \begin{equation*}V=\frac{4R^3\pi}{3} \end{equation*}

A térfogat kiszámításának levezetése túlmutat a középiskolai anyagon, így ezt most mellőzzük.

A gömb felszíne

A gömb felszínét A-val szoktuk jelölni, kiszámolni pedig a következőképpen kell:

(2)   \begin{equation*}V=4R^2\pi\end{equation*}

Gömbhöz kapcsolódó egyéb tudnivalók

Ha a gömböt egy olyan síkkal metszük el amely nem tartalmazza a gömb középpontját, akkor egy főkörtől különböző kört kapunk .
Jelöljük ezen kör középpontját K-val, a gömb középpontját O-val, az adott kör sugarát r-rel a gömb sugarát R-rel. Ekkor O, K és a kör kerületének egy tetszőleges pontja (jelöljük ezt P-vel) (amely egyben a gömb felületén is rajta van) derékszögű háromszöget alkotnak. A derékszög az OKP szög lesz.
Erre a háromszögre felírható a Pithagorasz-tétel:

(3)   \begin{equation*} R^2=r^2+(KO)^2\end{equation*}


A KO szakasz egyben a kör síkjának a gömb középpontjától mért távolsága lesz.