Érintőnégyszög fogalma, érintőnégyszög tétel

Érintőnégyszög fogalma

Azokat a négyszögeket, amelyeknek van beírt körük, érintőnégyszögeknek nevezzük.

Másképpen: Az érintőnégyszög olyan négyszög, melynek oldalai ugyanannak a körnek az érintői.

Érintőnégyszög tétel

Ahhoz, hogy az érintőnégyszög tételt ki tudjuk mondani, először kimondunk két kapcsolódó tételt és be is bizonyítjuk ezeket.

Tétel

Ha egy konvex négyszög érintőnégyszög, akkor szemközti oldalainak összege egyenlő.

Bizonyítás

Vegyük fel az ABCD érintőnégyszöget és a beírt körét. A négyszög oldalai a kör külső pontból húzott érintői, jelöljük el az érintőpontokat rendre $M, N, P$ és $Q$ jelölésekkel. Az érintő- és szelőszakaszok tételéből tudjuk, hogy a körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok hossza megegyezik. Ezt azt jelenti, hogy

$AM = AQ = x$

$BM = BN = y$

$CN = CP = z$

$DP = DQ = w$

Ebből következik, hogy

$AD + BC = (x + w) + (y + z) = x + y + z + w$

$AB + CD = (x + y) + (w + z) = x + y + z + w.$

Tehát $AD + BC = AB + CD$ , vagyis a szemközti oldalak hosszának összege egyenlő.

Tétel

Ha egy konvex négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor a négyszög érintőnégyszög.

Bizonyítás

Tegyük fel indirekt módon, hogy a szemközti oldalak összege egyenlő ( $AD + BC = AB + CD$ ), de a négyszög nem érintőnégyszög. Tudjuk, hogy bármely konvex négyszögbe tudunk három oldalt érintő kört írni.

Tegyük fel, hogy a négyszög nem paralelogramma. Ez azt jelenti, hogy van két nem párhuzamos oldala (legyenek ezek $AD$ és $BC$ ). Ezek egyenesei metszik egymást, ezzel kimetszve azt a pontot, mely köré biztosan húzható olyan kör, amely érinti a négyszög három oldalát (legyenek ezek $AB, AD$ és $BC$ oldalak).

A feltétel szerint ez a kör nem érinti a negyedik ( $CD$ ) oldalt. Ez kétféleképpen lehetséges:

1. eset: A negyedik ( $CD$ ) oldal metszi a kört, azaz két közös pontja van a körrel.

2. eset: A negyedik ( $CD$ ) oldal a körön kívül van, azaz nincsen közös pontja a körrel.

Húzzunk a $CD$ oldallal párhuzamos egyenest olyan módon, hogy az pontosan a kör érintője legyen. Legyen ez $C'D'$ . Ekkor a következő egyenlőtlenségeket írhatjuk fel az oldalak hosszáról:

1. eset: $CD$ metszi a kört

$CD > C'D'$

$BC < BC'$

$AD < AD'$

Tehát az eredeti egyenletbe ezt behelyettesítve:

$AB + C'D' < BC' + AD'.$

Ez azonban ellentmond az előbb felírtaknak.

Érintőnégyszög tétel bizonyítás folytatása

2. eset: $CD$ a körön kívül van

$CD < C'D'$

$BC > BC'$

$AD > AD'$

Tehát az eredeti egyenletbe ezt behelyettesítve:

$AB + C'D' > BC' + AD'.$

Mivel a $C'D'$ oldalt pontosan úgy vettük fel, hogy az $ABC'D'$ négyszög érintőnégyszög legyen, ezért ennek oldalaira a következő egyenlőséget tudjuk felírni:

$AB + C'D' = BC' + AD'$

Ez azonban ellentmond az előbb felírtaknak.

Érintőnégyszög tétel bizonyítás folytatás

Mivel a gondolatmenetünk helyes volt, ezért csak a kiindulási feltételben lehet a hiba. Tehát nem igaz, hogy $CD$ nem érinti a kört, vagyis $CD$ érinti a kört. Ez viszont azt jelenti, hogy $ABCD$ négyszög minden oldala érinti a kört, vagyis minden oldala a kör egy érintője, tehát az $ABCD$ négyszög érintőnégyszög.

A bizonyításban kihasználtuk, hogy $ABCD$ négyszög nem paralelogramma. Ha az $ABCD$ négyszög paralelogramma és szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor az $ABCD$ négyszög rombusz. A rombusz belső szögfelezői egy pontban metszik egymást, amely a rombusz beírt körének középpontja.

Érintőnégyszög tétel

Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege egyenlő.

Érintőnégyszög tétel bizonyítása

A fenti két tétellel külön-külön bizonyítottuk mind a két irányt, tehát bizonyítottuk a érintőnégyszög tételt.

Érintőnégyszög területe

Az érintőnégyszögek területe kifejezhető a négyszög kerületével és a beírt kör sugarával a következőképpen:

Ha $s = \frac{k}{2}$ , akkor

$t = \frac{k \cdot r}{2} = s \cdot r.$