Érintőnégyszög fogalma
Azokat a négyszögeket, amelyeknek van beírt körük, érintőnégyszögeknek nevezzük.
Másképpen: Az érintőnégyszög olyan négyszög, melynek oldalai ugyanannak a körnek az érintői.
Érintőnégyszög tétel
Ahhoz, hogy az érintőnégyszög tételt ki tudjuk mondani, először kimondunk két kapcsolódó tételt és be is bizonyítjuk ezeket.
Tétel
Ha egy konvex négyszög érintőnégyszög, akkor szemközti oldalainak összege egyenlő.
Bizonyítás
Vegyük fel az ABCD érintőnégyszöget és a beírt körét. A négyszög oldalai a kör külső pontból húzott érintői, jelöljük el az érintőpontokat rendre és jelölésekkel. Az érintő- és szelőszakaszok tételéből tudjuk, hogy a körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok hossza megegyezik. Ezt azt jelenti, hogy
Ebből következik, hogy
Tehát , vagyis a szemközti oldalak hosszának összege egyenlő.
Tétel
Ha egy konvex négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor a négyszög érintőnégyszög.
Bizonyítás
Tegyük fel indirekt módon, hogy a szemközti oldalak összege egyenlő (), de a négyszög nem érintőnégyszög. Tudjuk, hogy bármely konvex négyszögbe tudunk három oldalt érintő kört írni.
Tegyük fel, hogy a négyszög nem paralelogramma. Ez azt jelenti, hogy van két nem párhuzamos oldala (legyenek ezek és ). Ezek egyenesei metszik egymást, ezzel kimetszve azt a pontot, mely köré biztosan húzható olyan kör, amely érinti a négyszög három oldalát (legyenek ezek és oldalak).
A feltétel szerint ez a kör nem érinti a negyedik () oldalt. Ez kétféleképpen lehetséges:
1. eset: A negyedik () oldal metszi a kört, azaz két közös pontja van a körrel.
2. eset: A negyedik () oldal a körön kívül van, azaz nincsen közös pontja a körrel.
Húzzunk a oldallal párhuzamos egyenest olyan módon, hogy az pontosan a kör érintője legyen. Legyen ez . Ekkor a következő egyenlőtlenségeket írhatjuk fel az oldalak hosszáról:
1. eset: metszi a kört
Tehát az eredeti egyenletbe ezt behelyettesítve:
Ez azonban ellentmond az előbb felírtaknak.
2. eset: a körön kívül van
Tehát az eredeti egyenletbe ezt behelyettesítve:
Mivel a oldalt pontosan úgy vettük fel, hogy az négyszög érintőnégyszög legyen, ezért ennek oldalaira a következő egyenlőséget tudjuk felírni:
Ez azonban ellentmond az előbb felírtaknak.
Mivel a gondolatmenetünk helyes volt, ezért csak a kiindulási feltételben lehet a hiba. Tehát nem igaz, hogy nem érinti a kört, vagyis érinti a kört. Ez viszont azt jelenti, hogy négyszög minden oldala érinti a kört, vagyis minden oldala a kör egy érintője, tehát az négyszög érintőnégyszög.
A bizonyításban kihasználtuk, hogy négyszög nem paralelogramma. Ha az négyszög paralelogramma és szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor az négyszög rombusz. A rombusz belső szögfelezői egy pontban metszik egymást, amely a rombusz beírt körének középpontja.
Érintőnégyszög tétel
Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege egyenlő.
Érintőnégyszög tétel bizonyítása
A fenti két tétellel külön-külön bizonyítottuk mind a két irányt, tehát bizonyítottuk a érintőnégyszög tételt.
Érintőnégyszög területe
Az érintőnégyszögek területe kifejezhető a négyszög kerületével és a beírt kör sugarával a következőképpen:
Ha , akkor