Háromszög súlyvonala, súlypontja

Súlyvonal fogalma

A háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz a háromszög súlyvonala.

Tétel – A súlypont fogalma

A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, ezt a pontot a háromszög súlypontjának nevezzük. A súlypont 1 : 2 arányban osztja fel a súlyvonalakat (az oldal felé eső szakasz : a csúcs felé eső szakasz).

Bizonyítás

Vegyük fel az $ABC$ háromszöget.

Húzzuk be az $A$ és $B$ csúcsból kiinduló súlyvonalakat. Legyen ezek metszéspontja $S$ , a szemközti oldalon lévő metszéspontok pedig $F_{1}$ és $F_{2}$ .

Mivel az $F_{1}F_{2}$ szakasz az $ABC$ háromszög középvonala, ezért tudjuk, hogy

$F_{1}F_{2} \parallel AB$ ,

$F_{1}F_{2} = \frac{AB}{2}$ .

Most nézzük az $ABS$ háromszöget. Húzzuk be az $A$ és $B$ csúcsból kiinduló súlyvonalakat. Legyen ezek metszéspontja $P$ , a szemközti oldalon lévő metszéspontok pedig $G_{1}$ és $G_{2}$ .

Mivel az $G_{1}G_{2}$ szakasz az $ABS$ háromszög középvonala, ezért tudjuk, hogy

$G_{1}G_{2} \parallel AB$ ,

$G_{1}G_{2} = \frac{AB}{2}$ .

Ez azt jelenti, hogy

$G_{1}G_{2} \parallel F_{1}F_{2}$ ,

$G_{1}G_{2} = F_{1}F_{2}$ .

Tehát az $F_{1}F_{2}G_{2}G_{1}$ négyszög paralelogramma.

A paralelogramma egyik tulajdonsága, hogy átlói felezik egymást, vagyis

$F_{1}S = SG_{2}$ ,

$F_{2}S = SG_{1}$ .

\end{gathered}

\end{equation}

Mivel a $G_{1}G_{2}$ szakasz az $ABS$ háromszög középvonala, ezért tudjuk, hogy

$AG_{1} = G_{1}S$ ,

$AG_{2} = G_{2}S$ .

Ez az előbbiek alapján továbbá

$F_{1}S = SG_{2} = AG_{1}$ ,

$F_{2}S = SG_{1} = AG_{2}$ .

Vagyis az $SF_{1} : SA$ aránya egyenlő lesz $1 : 2$ .

A bizonyítás az $ABC$ háromszög bármely két tetszőleges súlyvonalára igaz. Tehát a harmadik súlyvonalnak át kell haladnia az $S$ ponton. Így ez a pont a háromszög súlypontja.

Súlyvonal kiszámítása a háromszög oldalaiból

Vegyük fel az $ABC$ háromszöget és jelöljük el oldalait rendre $a$ , $b$ és $c$ jelöléssel.

Rajzoljuk be az $A$ csúcshoz tartozó súlyvonalát. Jelöljük el ezt $s_{a}$ -val.

Tükrözzük a háromszöget az $a$ oldalra. Ekkor egy olyan paralelogrammát kapunk, melynek oldalai $b$ és $c$ , valamint átlói $a$ és $2s_{a}$ .

A paralelogramma egyik tulajndonsága, hogy átlóinak négyzetösszege megegyezik az oldalak négyzetösszegével. Ez esetünkben a következőt jelenti:

$2b^{2} + 2c^{2} = a^{2} + 4s_{a}^{2}$ .

Ebből az egyenletből az $A$ csúcshoz tartozó súlyvonal hosszát kifejezve a következőt kapjuk:

$s_{a}^{2} = \frac{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}{4}$ ,

$s_{a} = \sqrt{\frac{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}{4}}$ .

A gondolatmenet a háromszög bármely csúcsára és súlyvonalára ugyanúgy alkalmazható. Így a háromszög súlyvonalainak hossza:

$s_{a} = \sqrt{\frac{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}{4}}$ ,

$s_{b} = \sqrt{\frac{2a^{2} + 2c^{2} - b^{2}}{4}}$ ,

$s_{c} = \sqrt{\frac{2a^{2} + 2b^{2} - c^{2}}{4}}$ .