Húrnégyszög fogalma, húrnégyszög tétel

A húrnégyszög definíciója

Azokat a négyszögeket, amelyeknek van köré írható körük, húrnégyszögeknek nevezzük.

Másképpen: A húrnégyszög olyan négyszög, melynek oldalai ugyanannak a körnek a húrjai.

Húrnégyszög

Húrnégyszög tétel

Ahhoz, hogy a húrnégyszög tételt ki tudjuk mondani, először kimondunk két kapcsolódó tételt és be is bizonyítjuk ezeket.

Tétel

Ha egy négyszög húrnégyszög, akkor szemközti szögeinek összege 180°.

Bizonyítás

Vegyünk fel egy ABCD húrnégyszöget és a köré írt körét. Legyen a négyszögben DAB \sphericalangle = \alpha és BCD \sphericalangle = \gamma.

Ekkor \alpha a C csúcsot tartalmazó BD ívhez, \gamma pedig az A csúcsot tartalmazó DB ívhez tartozó kerületi szög. A kerületi és középponti szögek tételéből tudjuk, hogy az ugyanezekhez az ívekhez tartozó középponti szögek nagysága 2 \alpha és 2 \gamma.

Ezek összegéről tudjuk, hogy 2 \alpha + 2 \gamma = 360°. Mivel a négyszög belső szögeinek összege 360°, ezért a másik két szemközti szög összege is 180° kell legyen.

húrnégyszög tétel

Most pedig jöjjön a második tétel.

Tétel

Ha egy négyszög szemközti szögeinek összege 180°, akkor a négyszög húrnégyszög.

Bizonyítás

Tegyük fel indirekt módon, hogy a szemközti szögek összege 180° és a négyszög nem húrnégyszög. Ez azt jelenti, hogy az egyik csúcs (mondjuk C) nem illeszkedik a másik három által meghatározott körre. Legyen P a DC egyenesének és a körnek a metszéspontja.

Legyen DAB \sphericalangle = \alpha . A feltétel szerint BDC \sphericalangle = 180°- \alpha, tehát BCP \sphericalangle = \alpha.

Húrnégyszög tétel bizonyítása

Ekkor ABPD négyszög húrnégyszög, amiről már beláttuk, hogy szemközti szögeinek összege 180°. Tehát DPB \sphericalangle = 180°- \alpha. Ebből viszont az következik, hogy a BPC háromszög egyik szöge (BCP \sphericalangle) \alpha , egy másik szöge pedig 180°- \alpha. Ezek összege a harmadik szög nélkül is 180°. Ez ellentmond a belső szögek összegére vonatkozó tételnek.

Mivel a gondolatmenetünk helyes volt, ezért csak a kiindulási feltételben lehet a hiba. Tehát nem igaz, hogy C nincs a körön, vagyis a C illeszkedik a körre. Ez viszont azt jelenti, hogy ABCD mindegyik csúcsa ugyanazon a körön van, tehát az ABCD négyszög húrnégyszög.

Húrnégyszög tétel

A két tetel után pedig eljutottunk, a húrnégyszög tételhez, ami így szól:

Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°.

Húrnégyszög tétel bizonyítása

A fenti két tétellel külön-külön bizonyítottuk mind a két irányt, tehát bizonyítottuk a húrnégyszög tételt.

Érdekesség a húrnégyszögekről

A húrnégyszög területe kifejezhető a négyszög kerületével és az oldalakkal a következőképpen:

Ha s = \frac{k}{2}, akkor 

 t = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}.

Ez a Heron-képlet húrnégyszögekre.