A húrnégyszög definíciója
Azokat a négyszögeket, amelyeknek van köré írható körük, húrnégyszögeknek nevezzük.
Másképpen: A húrnégyszög olyan négyszög, melynek oldalai ugyanannak a körnek a húrjai.
Húrnégyszög tétel
Ahhoz, hogy a húrnégyszög tételt ki tudjuk mondani, először kimondunk két kapcsolódó tételt és be is bizonyítjuk ezeket.
Tétel
Ha egy négyszög húrnégyszög, akkor szemközti szögeinek összege 180°.
Bizonyítás
Vegyünk fel egy húrnégyszöget és a köré írt körét. Legyen a négyszögben = és = .
Ekkor a csúcsot tartalmazó ívhez, pedig az csúcsot tartalmazó ívhez tartozó kerületi szög. A kerületi és középponti szögek tételéből tudjuk, hogy az ugyanezekhez az ívekhez tartozó középponti szögek nagysága és .
Ezek összegéről tudjuk, hogy 360°. Mivel a négyszög belső szögeinek összege 360°, ezért a másik két szemközti szög összege is 180° kell legyen.
Most pedig jöjjön a második tétel.
Tétel
Ha egy négyszög szemközti szögeinek összege 180°, akkor a négyszög húrnégyszög.
Bizonyítás
Tegyük fel indirekt módon, hogy a szemközti szögek összege 180° és a négyszög nem húrnégyszög. Ez azt jelenti, hogy az egyik csúcs (mondjuk ) nem illeszkedik a másik három által meghatározott körre. Legyen a egyenesének és a körnek a metszéspontja.
Legyen = . A feltétel szerint 180°- , tehát .
Ekkor négyszög húrnégyszög, amiről már beláttuk, hogy szemközti szögeinek összege 180°. Tehát . Ebből viszont az következik, hogy a háromszög egyik szöge () , egy másik szöge pedig 180°- . Ezek összege a harmadik szög nélkül is 180°. Ez ellentmond a belső szögek összegére vonatkozó tételnek.
Mivel a gondolatmenetünk helyes volt, ezért csak a kiindulási feltételben lehet a hiba. Tehát nem igaz, hogy nincs a körön, vagyis a illeszkedik a körre. Ez viszont azt jelenti, hogy mindegyik csúcsa ugyanazon a körön van, tehát az négyszög húrnégyszög.
Húrnégyszög tétel
A két tetel után pedig eljutottunk, a húrnégyszög tételhez, ami így szól:
Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°.
Húrnégyszög tétel bizonyítása
A fenti két tétellel külön-külön bizonyítottuk mind a két irányt, tehát bizonyítottuk a húrnégyszög tételt.
Érdekesség a húrnégyszögekről
A húrnégyszög területe kifejezhető a négyszög kerületével és az oldalakkal a következőképpen:
Ha , akkor
Ez a Heron-képlet húrnégyszögekre.