Húrnégyszög fogalma, húrnégyszög tétel

A húrnégyszög definíciója

Azokat a négyszögeket, amelyeknek van köré írható körük, húrnégyszögeknek nevezzük.

Másképpen: A húrnégyszög olyan négyszög, melynek oldalai ugyanannak a körnek a húrjai.

Húrnégyszög tétel

Ahhoz, hogy a húrnégyszög tételt ki tudjuk mondani, először kimondunk két kapcsolódó tételt és be is bizonyítjuk ezeket.

Tétel

Ha egy négyszög húrnégyszög, akkor szemközti szögeinek összege 180°.

Bizonyítás

Vegyünk fel egy $ABCD$ húrnégyszöget és a köré írt körét. Legyen a négyszögben $DAB \sphericalangle$ = $\alpha$ és $BCD \sphericalangle$ = $\gamma$ .

Ekkor $\alpha$ a $C$ csúcsot tartalmazó $BD$ ívhez, $\gamma$ pedig az $A$ csúcsot tartalmazó $DB$ ívhez tartozó kerületi szög. A kerületi és középponti szögek tételéből tudjuk, hogy az ugyanezekhez az ívekhez tartozó középponti szögek nagysága $2 \alpha$ és $2 \gamma$ .

Ezek összegéről tudjuk, hogy $2 \alpha + 2 \gamma =$ 360°. Mivel a négyszög belső szögeinek összege 360°, ezért a másik két szemközti szög összege is 180° kell legyen.

Most pedig jöjjön a második tétel.

Tétel

Ha egy négyszög szemközti szögeinek összege 180°, akkor a négyszög húrnégyszög.

Bizonyítás

Tegyük fel indirekt módon, hogy a szemközti szögek összege 180° és a négyszög nem húrnégyszög. Ez azt jelenti, hogy az egyik csúcs (mondjuk $C$ ) nem illeszkedik a másik három által meghatározott körre. Legyen $P$ a $DC$ egyenesének és a körnek a metszéspontja.

Legyen $DAB \sphericalangle$ = $\alpha$ . A feltétel szerint $BDC \sphericalangle =$ 180°- $\alpha$ , tehát $BCP \sphericalangle = \alpha$ .

Ekkor $ABPD$ négyszög húrnégyszög, amiről már beláttuk, hogy szemközti szögeinek összege 180°. Tehát $DPB \sphericalangle = 180°- \alpha$ . Ebből viszont az következik, hogy a $BPC$ háromszög egyik szöge ( $BCP \sphericalangle$ ) $\alpha$ , egy másik szöge pedig 180°- $\alpha$ . Ezek összege a harmadik szög nélkül is 180°. Ez ellentmond a belső szögek összegére vonatkozó tételnek.

Mivel a gondolatmenetünk helyes volt, ezért csak a kiindulási feltételben lehet a hiba. Tehát nem igaz, hogy $C$ nincs a körön, vagyis a $C$ illeszkedik a körre. Ez viszont azt jelenti, hogy $ABCD$ mindegyik csúcsa ugyanazon a körön van, tehát az $ABCD$ négyszög húrnégyszög.

Húrnégyszög tétel

A két tetel után pedig eljutottunk, a húrnégyszög tételhez, ami így szól:

Egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180°.

Húrnégyszög tétel bizonyítása

A fenti két tétellel külön-külön bizonyítottuk mind a két irányt, tehát bizonyítottuk a húrnégyszög tételt.

Érdekesség a húrnégyszögekről

A húrnégyszög területe kifejezhető a négyszög kerületével és az oldalakkal a következőképpen:

Ha $s = \frac{k}{2}$ , akkor

$t = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}.$

Ez a Heron-képlet húrnégyszögekre.