Kör területe, kerülete és részei

A kör definíciója: Adott a síkon egy pont és egy szakasz. A kör azon pontok halmaza a síkon, amelyek az adott ponttól az adott távolságra vannak.

A kör részei

Az adott pont a kör középpontja, a szakasz pedig a kör sugara. A középpontot O-val vagy K-val jelöljük, a sugarat pedig r-rel.

A kör sugarának kétszeres a kör átmérője, ezt d-vel jelöljük.

A körlemez azon pontok halmaza, amelyek a kör középpontjától sugárnyi vagy attól kisebb távolságra vannak.

Körvonal és körlemez

A kör húrja a körvonal bármely két pontját összekötő szakasz. A leghosszabb húr az átmérő.

A húr a körvonalat két részre bontja. Ezeknek a neve a körív. A körlemezt is két részre bontje egy húr, ezek a körszelet névre hallgatnak.

A kör középpontjából kiinduló két sugár a körlemezt két részre bontja. A keletkező részek neve a körcikk.

Azokat a szögeket amelyeknek csúcsa a kör középpontjában van, szárai a kör sugaraira illeszkednek középponti szögeknek nevezzük. A középponti szöghöz tartozó két sugár a köríven kijelöl egy körívet, a körlemezen pedig egy körcikket.

Kör részei

A kör területe

A kör területe a sugár négyzetének és a π-nek a szorzata.

(1)   \begin{equation*}T=r^2\pi \end{equation*}

A π (pí) egy irracionális, sőt transzcendens szám, tehát egy nem szakaszos, tizedes tört. Az értéke megközelítőleg 3,14.

Előfordulhat, hogy a sugár nem ismert, csak a kör átmérője. Ekkor vagy kiszámoljuk az sugarat és utána a területet, vagy pedig a következő képletet használjuk.

(2)   \begin{equation*}T=\frac{d^2\pi}{4} \end{equation*}

A körcikk területe

Ha egy körön belül adottak az α és β középponti szögek, továbbá a hozzájuk tartozó iα és iβ körívek, akkor igaz a következő tétel:
Egy körön belül a középponti szögek úgy aránylanak egymáshoz, mint a hozzájuk tartozó körívek hosszai.

(3)   \begin{equation*}\frac{\alpha}{\beta}=  \frac{i_\alpha}{i_\beta} \end{equation*}

Ennek az összefüggésnek a speciális esete, ha az egyik középponti szög helyett a teljes szöget írjuk, ekkor a hozzátartozó körív a körvonal hossza lesz.

(4)   \begin{equation*}\frac{\alpha}{360° }=  \frac{i_\alpha}{2r\pi} \end{equation*}

Ha egy körön belül adottak az α és β középponti szögek, továbbá a hozzájuk tartozó két körcikk, melyeknek területeit jelöljük tα-val és tβ-val, akkor igaz a következő tétel:
Egy körön belül a középponti szögek úgy aránylanak egymáshoz, mint a hozzájuk tartozó körcikkek területei.

(5)   \begin{equation*}\frac{\alpha}{\beta}=  \frac{t_\alpha}{t_\beta} \end{equation*}

Ennek az összefüggésnek a speciális esete, ha az egyik középponti szög helyett a teljes szöget írjuk, ekkor a hozzátartozó körcikk területe a körlemez területe lesz.

(6)   \begin{equation*}\frac{\alpha}{360° }=  \frac{t_\alpha}{r^2\pi} \end{equation*}

A (4)-es és (6)-os egyenletek bal oldala megegyezik, azaz a jobb oldalak is. Onnan pedig kifejezhető a körcikk területe.

(7)   \begin{equation*}t_\alpha=  \frac{i_\alpha r}{2} \end{equation*}

Körszelet területe

Ha egy körszeletet meghatározó húr A és B végpontját a kör középpontjával összekötjük, akkor egy körcikket kapunk. Az AB húr a körcikket egy háromszögre (ABK háromszög) és az adott körszeletre bontja.

Körszelet területe

A körszelet területe meghatározható tehát a körcikk és a háromszög területének különbségeként.

(8)   \begin{equation*}t_{körszelet}=t_{körcikk}-t_{ABK}=\frac{i_\alpha r}{2} -\frac{r^2\sin\alpha}{2} \end{equation*}

Itt iα a körcikkhez tartozó körív hossza, α a körcikkhez tartozó középponti szög.

A kör kerülete

A kör kerülete a sugár kétszeresének és a π-nek a szorzata.

(9)   \begin{equation*}T=2r\pi \end{equation*}

Természetesen, ha a kör átmérője ismert, akkor azt is felhasználhatjuk a kerület kiszámításához.

(10)   \begin{equation*}T=d\pi \end{equation*}

Előfordulhat az is, hogy a kör területe ismert, de a sugara nem. Ez esetben a következő képletet kell alkalmaznunk.

(11)   \begin{equation*}K=2\sqrt{T} \sqrt{\pi}  \end{equation*}

Ha pedig a fordított eset áll fenn, és a kerület az ismert, akkor a kör területe így számolható ki:

(12)   \begin{equation*}T=\frac{K^2}{4\pi}  \end{equation*}