Pitagorasz-tétel

A Pitagorasz-tétel az egyik legszélesebb körben ismert matematikai tétel. A tétel a következőt mondja ki:
Ha egy háromszög derékszögű, akkor befogóinak négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével.

Ezt képlettel is le tudjuk írni, ami a következőképp fest:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

A Pitagorasz-tételnek létezik másik megfogalmazása is, ez pedig a következő: Ha egy háromszög derékszögű, akkor az átfogójára emelt négyzet területe megegyezik a befogóira emelt négyzetek területének összegével.

Most pedig nézzük meg, hogyan tudjuk bizonyítani a Pitagorasz-tételt.

A Pitagorasz-tétel bizonyítása

Bizonyítani akarjuk, hogy

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Ehhez vegyünk fel két a + b oldalú négyzetet. A két négyzet területe egyenlő.

Bontsuk fel az első négyzetet egy t_{1} = a^{2} és egy t_{2} = b^{2} területű négyzetre, továbbá 4 olyan derékszögű háromszögre, amelyek befogói: a és b. Ez a 4 háromszög egybevágó egymással és az eredeti háromszöggel, tehát a területük egyenlő.

A második a + b oldalú négyzetben vegyünk fel egy négyszöget a következőféleképpen:

  •      oldalai egyenlő hosszúak (ezek derékszögű háromszögek átfogói)
  •     szögei 90°-osak (egybevágó derékszögű háromszögben \alpha + \beta = 90°)

Tehát a négyszögünk egy négyzet. Vagyis ha a derékszögű háromszögek átfogója c, akkor a területe t_{3} = c^{2}.

Így a két nagy négyzet területéből kivonva a háromszögek területét, a fennmaradó területek egyenlőek lesznek.

Pitagorasz-tétel megfordítása

Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

Pitagorasz-tétel alkalmazása

  • Ha egy derékszögű háromszögben adott két oldal hossza, a tétel segítségével kiszámolható a harmadik oldal hossza.
  • Ha egy háromszögben adott mindhárom oldal hossza, kiszámítható, hogy a háromszög leghosszabb oldalával szemben lévő szög milyen.
    • Ha a^{2} + b^{2} < c^{2}, akkor a háromszög tompaszögű.
    • Ha a^{2} + b^{2} = c^{2}, akkor a háromszög derékszögű.
    • Ha a^{2} + b^{2} > c^{2}, akkor a háromszög hegyesszögű.

Példa a tétel alkalmazására

Adott egy derékszögű háromszög, melynek befogói 6 cm és 8 cm. Számítsuk ki az átfogó hosszát!

A feladatból tudjuk a háromszög befogóinak hosszát:

a = 6 \quad \textit{és} \quad b = 8

A Pitagorasz-tétel egyenlete:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Az adatokat beírva a képletbe:

6^{2} + 8^{2} = c^{2}

36 + 64 = c^{2}

100 = c^{2}

c = 10

Tehát a háromszög átfogójának hossza 10 cm.

Gyakorlati példa a Pitagorasz-tétel alkalmazására

Egy vitorlás hajó árbócának a magasságát szeretnénk meghatározni. A következőket tudjuk:

  • Mind a két vitorla, a fővitorla (a képen kékkel jelölve) és az orrvitorla (narancssárgával) derékszögű háromszög alakúak.
  • A két vitorla átfogója megegyező hosszúságú.
  • A fővitorla hajópadlóval párhuzamos oldala kétszer olyan hosszú, mint az orrvitorláé.
  • A fővitorla kétszer olyan távol kezdődik a padlótól, mint az orrvitorla.
  • Az orrvitorla hajópadlóval párhuzamos oldala ugyanolyan hosszú, mint amilyen magasságban a fővitorla kezdődik a padlótól számítva.
  • Az orrvitorla hajópadlóval párhuzamos oldala 2 méter hosszú.
Pitagorasz-tétel alkalmazása

Haladjunk szépen, lépésről-lépésre. Először is írjuk fel, hogy mit kell kiszámolnunk: az árbóc hosszát, azaz az AF szakaszt.

Jelöljük el a vitorlák oldalait, majd írjuk fel, amit tudunk. Legyen a fővitorla átfogója c, befogói pedig CD=a és AC=b. Legyen az orrvitorla átfogója f és a befogók pedig AB=d és BE=e. Ekkor adataink a következők:

  • c=f
  • a=2e
  • CF=2*BF
  • CF=e
  • e=2

Mivel derékszögű háromszögekről van szó, így mind a két esetben fel tudjuk írni a Pitagorasz-tételt:

a^2+b^2=c^2

d^2+e^2=f^2

Mivel tudjuk, hogy c=f, így azt is tudjuk, hogy c^2=f^2. Ebből pedig következik:

a^2+b^2=d^2+e^2

Tudjuk, hogy e=2 és a=2e=4, azaz:

4^2+b^2=d^2+2^2

12+b^2=d^2.

Tudjuk továbbá, hogy CF=e=2 és CF=2*BF, azaz BF=1.

Mivel CF=CB+BF, így tudjuk, hogy CB=1 (mivel 2=CB+1).

Innen pedig fel tudjuk írni azt, hogy d=b+1. Helyettesítsük ezt be a 12+b^2=d^2 egyenletbe.

12+b^2=(b+1)^2

12+b^2=b^2+2b+1

Azaz 11=2b, tehát b=5.5.

Tudjuk továbbá, hogy AF=b+CF, azaz AF=5.5+2=7.5.

Tehát az árbóc hossza 7.5 méter.