Pont körüli forgatás fogalma, tulajdonságai, feladatok

Pont körüli forgatás fogalma

Adott a sík egy $O$ pontja és egy $\alpha$ irányított szög. Az $O$ pont körüli, $\alpha$ szögű, adott irányú elforgatás a sík egy tetszőleges $O$ -tól különböző $P$ pontjához azt a $P'$ pontot rendeli, amelyre teljesül, hogy a $POP'$ szög irány és nagyság szerint is megegyezik $\alpha$ -val és $OP$ = $OP'$ . Az $O$ képe önmaga.

Pont körüli forgatás tulajdonságai

fixpont: az $O$ pont (ha $\alpha \neq$ $k*360°$ , $k\in \mathbb{Z}$ ). Azaz csak a középpont fixpont, ha a szög nem 360° vagy annak egész számú többszöröse. Ha a szög a 360° egész számú többszöröse, akkor minden pont fix pont.
fixegyenes: nincs fixegyenese (ha $\alpha \neq$ $k*360°$ , $k\in \mathbb{Z}$ ). Azaz nincs fixegyenes, ha a szög nem 360° vagy annak egész számú többszöröse. Ha a szög a 360° egész számú többszöröse, akkor minden egyenes fixegyenes.
invariáns egyenes: nincs invariáns egyenese (ha $\alpha \neq$ $k*180°$ , $k\in \mathbb{Z}$ ). Azaz nincs invariáns egyenes, ha a szög nem 180° vagy annak egész számú többszöröse. Ha a szög a 180° egész számú többszöröse, akkor minden a középponton áthaladó egyenes invariáns egyenes.
távolságtartó és szögtartó: A szakasz képe vele azonos hosszúságú szakasz, szög képe vele azonos nagyságú szög. Azaz a tengelyes tükrözés egy egybevágósági transzformáció.
irányítástartó: nem változtatja meg az alakzatok körüljárási irányát.

Érdemes még megjegyezni, hogy a pont körüli forgatásnak egy speciális esete, amikor a fotgatás szöge 180°. Ezt középpontos tükrözésnek nevezzük.

Pont körüli forgatás feladatok

Feladat: Forgassuk el az ABC háromszöget a megadott O pont körül $\alpha$ = 60°-al pozitív irányban!

Megoldás:

Vegyük fel az ABC háromszöget és az O pontot, amely körül el akarjuk forgatni. Szerkesszük meg az $\alpha$ = 60°-os szöget.
Kössük össze az A csúcsot az O ponttal és ezzel a távolsággal rajzoljuk körívet az O pontból. Vegyük körző nyílásba az \alpha szöget és metsszük el az előbb rajzolt körívet az A pontból ezzel a távolsággal. Az így kimetszett pont lesz az A’, amely az A pont O pont körül $\alpha$ szöggel elforgatott képe.
A B és C pontok képét ugyanilyen módon szerkesszük. Ezzel megkapjuk a B’ és C’ pontokat.
Összekötve az A’, B’ és C’ pontokat megkapjuk az A’B’C’ háromszöget, amely az ABC háromszög O pont körül $\alpha$ szöggel elforgatott képe.