Szögfelező tétel

A szögfelező tétel azt mondja ki, hogy egy háromszög adott belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak hosszainak arányában osztja ketté.

Ahhoz, hogy ezt a tételt be tudjuk bizonyítani először a következő állítást kell bizonyítanunk:

Tekintsünk egy tetszőleges ABC háromszöget, valamint legyen A_1 pont a BC egyenes egy tetszőleges pontja. Legyenek \alpha_1=BAA_1\sphericalangle és \alpha_2=CAA_1\sphericalangle.

Állítás: Ekkor

    \[\frac{\overline{BA_1}}{\overline{A_1C}}=\frac{\overline{AB}\cdot\sin\left(\alpha_1\right)}{\overline{CA}\cdot\sin\left(\alpha_2\right)}.\]

Bizonyítás: Írjuk fel a BAA_1, illetve a BAA_2 háromszögek t_1-gyel illetve t_2-vel jelölt területét kétféleképp:

    \[t_1=\frac{\overline{BA_1}\cdot m_a}{2}=\frac{\overline{AA_1}\cdot\overline{AB}\cdot\sin\left(\alpha_1\right)}{2}\]


illetve

    \[t_2=\frac{\overline{A_1C}\cdot m_a}{2}=\frac{\overline{AA_1}\cdot\overline{CA}\cdot\sin\left(\alpha_2\right)}{2},\]


ahol m_a az ABC háromszög BC oldalához tartozó magasságot jelöli. Mivel az A_1 pont is a BC egyenesen van, a két vizsgált háromszögben szintén m_a az A csúccsal szemközti oldalhoz tartozó magasság hossza. Tekintsük most a \frac{t_1}{t_2} hányadost. Az előbb felírt egyenlet miatt ebből egyszerűsítés után

    \[\frac{t_1}{t_2}=\frac{\overline{BA_1}}{\overline{A_1C}}=\frac{\overline{AB}\cdot\sin\left(\alpha_1\right)}{\overline{CA}\cdot\sin\left(\alpha_2\right)}\]


adódik, ami éppen az állítás. Az osztást persze elvégezhettük, mivel 0<\alpha_2<180^{\circ}, ezért \sin\left(\alpha_2\right)>0, és persze \overline{AA_1} és \overline{CA} is pozitív távolságok, hiszen A nem illeszkedik BC egyenesre. \square

Szögfelező tétel és a bizonyítása

Szögfelező tétel: ABC háromszögben az A csúcsnál lévő belső szögfelező a szembözti BC oldalt messe A_1 pontban. Ekkor

    \[\frac{\overline{BA_1}}{\overline{A_1C}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{CA}}.\]


Bizonyítás: Az előző állításból egyszerűen adódik. Ugyanis ha A_1 a BC oldal metszete az A csúcsból induló belső szögfelezővel, akkor \alpha_1=\alpha_2=\frac{\alpha}{2}, ahol \alpha jelöli a BAC\sphericalangle szöget, és így persze \frac{\sin\left(\alpha_1\right)}{\sin\left(\alpha_2\right)}=1. \square

Az első állításnak néhány egyéb érdekes következményét is láthatjuk. Könnyen meggondolhatjuk, hogy ha AA_1 az ABC háromszög súlyvonala, akkor az állítás következtében

    \[\frac{\sin\left(\alpha_1\right)}{\sin\left(\alpha_2\right)}=\frac{\overline{CA}}{\overline{AB}}.\]


Egy háromszög valamely csúcsából induló súlyvonalat ugyanazon csúcsból induló belső szögfelezőre tükrözve a háromszög adott csúcshoz tartozó szimmediánját kapjuk.

Állítás: Adott csúcshoz tartozó szimmedián a szemközti oldalt a közrefogó oldalak hossznégyzetének arányában osztja fel.

Bizonyítás: Legyen AA_1 az A csúcsból induló súlyvonal, AA_2 pedig az A-ból induló szimmedián. Mivel a szimmediánt a szögfelezőre vett tükörképként kapjuk, ha a súlyvonal \alpha szöget \alpha_1 és \alpha_2 szögekre osztotta fel, a szimmediánnál ugyanezek a szögek lesznek, csak felcserélve. Láttuk, hogy

    \[\frac{\sin\left(\alpha_1\right)}{\sin\left(\alpha_2\right)}=\frac{\overline{CA}}{\overline{AB}}.\]


Másrészt

    \[\frac{\overline{BA_2}}{\overline{A_2C}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{CA}}\cdot\frac{\sin\left(\alpha_1\right)}{\sin\left(\alpha_2\right)},\]


így

    \[\frac{\overline{BA_2}}{\overline{A_2C}}=\frac{\overline{AB}^2}{\overline{CA}^2},\]


és éppen ezt állítottuk. \square

Ebből az állításból például a Ceva-tétel felírásával azonnal látszik, hogy egy háromszög súlyvonalai illetve szimmediánjai egy ponton mennek át, utóbbit szokták Lemoine-pointnak is nevezni.