A szögfelező tétel azt mondja ki, hogy egy háromszög adott belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak hosszainak arányában osztja ketté.
Ahhoz, hogy ezt a tételt be tudjuk bizonyítani először a következő állítást kell bizonyítanunk:
Tekintsünk egy tetszőleges háromszöget, valamint legyen
pont a
egyenes egy tetszőleges pontja. Legyenek
és
.
Állítás: Ekkor
Bizonyítás: Írjuk fel a , illetve a
háromszögek
-gyel illetve
-vel jelölt területét kétféleképp:
illetve
ahol








adódik, ami éppen az állítás. Az osztást persze elvégezhettük, mivel







Szögfelező tétel és a bizonyítása
Szögfelező tétel: háromszögben az
csúcsnál lévő belső szögfelező a szembözti
oldalt messe
pontban. Ekkor
Bizonyítás: Az előző állításból egyszerűen adódik. Ugyanis ha








Az első állításnak néhány egyéb érdekes következményét is láthatjuk. Könnyen meggondolhatjuk, hogy ha az
háromszög súlyvonala, akkor az állítás következtében
Egy háromszög valamely csúcsából induló súlyvonalat ugyanazon csúcsból induló belső szögfelezőre tükrözve a háromszög adott csúcshoz tartozó szimmediánját kapjuk.
Állítás: Adott csúcshoz tartozó szimmedián a szemközti oldalt a közrefogó oldalak hossznégyzetének arányában osztja fel.
Bizonyítás: Legyen az
csúcsból induló súlyvonal,
pedig az
-ból induló szimmedián. Mivel a szimmediánt a szögfelezőre vett tükörképként kapjuk, ha a súlyvonal
szöget
és
szögekre osztotta fel, a szimmediánnál ugyanezek a szögek lesznek, csak felcserélve. Láttuk, hogy
Másrészt
így
és éppen ezt állítottuk.

Ebből az állításból például a Ceva-tétel felírásával azonnal látszik, hogy egy háromszög súlyvonalai illetve szimmediánjai egy ponton mennek át, utóbbit szokták Lemoine-pointnak is nevezni.