Szögfelező tétel - Matek Neked!

A szögfelező tétel azt mondja ki, hogy egy háromszög adott belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak hosszainak arányában osztja ketté.

Ahhoz, hogy ezt a tételt be tudjuk bizonyítani először a következő állítást kell bizonyítanunk:

Tekintsünk egy tetszőleges $ABC$ háromszöget, valamint legyen $A_1$ pont a $BC$ egyenes egy tetszőleges pontja. Legyenek $\alpha_1=BAA_1\sphericalangle$ és $\alpha_2=CAA_1\sphericalangle$ .

Állítás: Ekkor

$\frac{\overline{BA_1}}{\overline{A_1C}}=\frac{\overline{AB}\cdot\sin\left(\alpha_1\right)}{\overline{CA}\cdot\sin\left(\alpha_2\right)}.$

Bizonyítás: Írjuk fel a $BAA_1$ , illetve a $BAA_2$ háromszögek $t_1$ -gyel illetve $t_2$ -vel jelölt területét kétféleképp:

$t_1=\frac{\overline{BA_1}\cdot m_a}{2}=\frac{\overline{AA_1}\cdot\overline{AB}\cdot\sin\left(\alpha_1\right)}{2}$

illetve

$t_2=\frac{\overline{A_1C}\cdot m_a}{2}=\frac{\overline{AA_1}\cdot\overline{CA}\cdot\sin\left(\alpha_2\right)}{2},$

ahol $m_a$ az $ABC$ háromszög $BC$ oldalához tartozó magasságot jelöli. Mivel az $A_1$ pont is a $BC$ egyenesen van, a két vizsgált háromszögben szintén $m_a$ az $A$ csúccsal szemközti oldalhoz tartozó magasság hossza. Tekintsük most a $\frac{t_1}{t_2}$ hányadost. Az előbb felírt egyenlet miatt ebből egyszerűsítés után

$\frac{t_1}{t_2}=\frac{\overline{BA_1}}{\overline{A_1C}}=\frac{\overline{AB}\cdot\sin\left(\alpha_1\right)}{\overline{CA}\cdot\sin\left(\alpha_2\right)}$

adódik, ami éppen az állítás. Az osztást persze elvégezhettük, mivel $0<\alpha_2<180^{\circ}$ , ezért $\sin\left(\alpha_2\right)>0$ , és persze $\overline{AA_1}$ és $\overline{CA}$ is pozitív távolságok, hiszen $A$ nem illeszkedik $BC$ egyenesre. $\square$

Szögfelező tétel és a bizonyítása

Szögfelező tétel: $ABC$ háromszögben az $A$ csúcsnál lévő belső szögfelező a szembözti $BC$ oldalt messe $A_1$ pontban. Ekkor

$\frac{\overline{BA_1}}{\overline{A_1C}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{CA}}.$

Bizonyítás: Az előző állításból egyszerűen adódik. Ugyanis ha $A_1$ a $BC$ oldal metszete az $A$ csúcsból induló belső szögfelezővel, akkor $\alpha_1=\alpha_2=\frac{\alpha}{2}$ , ahol $\alpha$ jelöli a $BAC\sphericalangle$ szöget, és így persze $\frac{\sin\left(\alpha_1\right)}{\sin\left(\alpha_2\right)}=1$ . $\square$

Az első állításnak néhány egyéb érdekes következményét is láthatjuk. Könnyen meggondolhatjuk, hogy ha $AA_1$ az $ABC$ háromszög súlyvonala, akkor az állítás következtében

$\frac{\sin\left(\alpha_1\right)}{\sin\left(\alpha_2\right)}=\frac{\overline{CA}}{\overline{AB}}.$

Egy háromszög valamely csúcsából induló súlyvonalat ugyanazon csúcsból induló belső szögfelezőre tükrözve a háromszög adott csúcshoz tartozó szimmediánját kapjuk.

Állítás: Adott csúcshoz tartozó szimmedián a szemközti oldalt a közrefogó oldalak hossznégyzetének arányában osztja fel.

Bizonyítás: Legyen $AA_1$ az $A$ csúcsból induló súlyvonal, $AA_2$ pedig az $A$ -ból induló szimmedián. Mivel a szimmediánt a szögfelezőre vett tükörképként kapjuk, ha a súlyvonal $\alpha$ szöget $\alpha_1$ és $\alpha_2$ szögekre osztotta fel, a szimmediánnál ugyanezek a szögek lesznek, csak felcserélve. Láttuk, hogy

$\frac{\sin\left(\alpha_1\right)}{\sin\left(\alpha_2\right)}=\frac{\overline{CA}}{\overline{AB}}.$

Másrészt

$\frac{\overline{BA_2}}{\overline{A_2C}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{CA}}\cdot\frac{\sin\left(\alpha_1\right)}{\sin\left(\alpha_2\right)},$

így

$\frac{\overline{BA_2}}{\overline{A_2C}}=\frac{\overline{AB}^2}{\overline{CA}^2},$

és éppen ezt állítottuk. $\square$

Ebből az állításból például a Ceva-tétel felírásával azonnal látszik, hogy egy háromszög súlyvonalai illetve szimmediánjai egy ponton mennek át, utóbbit szokták Lemoine-pointnak is nevezni.