Tengelyes tükrözés fogalma, tulajdonságai, feladatok

A tengelyes tükrözés fogalma

Adott a sík egy t egyenese, ez a tengelyes tükrözés tengelye. A t tengelyre vonatkozó tengelyes tükrözés a sík tetszőleges t-re nem illeszkedő P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre fennáll, hogy a PP' szakasz felezőmerőlegese a t tengely. A t egyenes képe önmaga.

A tengelyes tükrözés tulajdonságai

Amikor geometriai transzformációk tulajdonságairól beszélünk, akkor mindig meg kell vizsgálni, hogy az adott transzformáció esetében mi a fix pont, fix egyenes és invariáns egyenes.

Először tisztázzuk ezeknek a fogalmait:

Fix pontnak nevezzük azt a pontot, melynek képe önmaga.

Fix egyenesnek nevezzük azt az egyenest, melynek minden pontja fixpont.

Invariáns egyenesnek nevezzük azt az egyenest, melynek képe önmaga, de pontonként nem fix.

Most pedig nézzük a tengelyes tükrözés tulajdonságait:

  1. fix pont: a t egyenes minden pontja
  2. fix egyenes: a t egyenes
  3. invariáns egyenes: a t-re merőleges egyenesek
  4. tengellyel párhuzamos egyenes képe: párhuzamos az eredeti egyenessel és a tengellyel
  5. tengelyre nem merőleges és vele nem párhuzamos egyenes képe: az eredeti egyenest a tengelyen metszi, és ugyanakkora szöget zár be a tengellyel, mint az eredeti egyenes.
  6. távolságtartó és szögtartó: A szakasz képe vele azonos hosszúságú szakasz, szög képe vele azonos nagyságú szög. Azaz a tengelyes tükrözés egy egybevágósági transzformáció.
  7. irányításfordító: megfordítja az alakzatok körüljárási irányát.

Tengelyes tükrözés feladatok

Feladat: Tükrözzük tengelyesen az ABC háromszöget a megadott t tengelyre!

Megoldás:

  1. Vegyük fel az ABC háromszöget és a t tengelyt.
  2. Az A pontból ugyanazzal a körző nyílással rajzoljunk köríveket, amelyek a t tengelyt metszik.
  3. Ugyanezzel a körző nyílással a 2 tengelyt metsző pontból rajzoljunk egymást metsző köríveket. Ezzel megkapjuk az A’ pontot, amely az A pont t tengelyre tükrözött képe.
  4. A B és C pontok képét ugyanilyen módon szerkesszük. Ezzel megkapjuk a B’ és C’ pontokat.
  5. Összekötve az A’, B’ és C’ pontokat megkapjuk az A’B’C’ háromszöget, amely az ABC háromszög t tengelyre vonatkozó tengelyesen tükrözött képe.
Tengelyes tükrözés