Variáció: ismétléses és ismétlés nélküli, feladatokkal

Kombinatorika feladatok során rengetegszer találkozhatunk a variáció fogalmával. De mit is jelent pontosan az ismétlés nélküli és az ismétlésesvariáció? Milyen feladatokat lehet megoldani a segítségükkel? Az alábbiakban mindegyik kérdésre megadjuk a választ!

Ismétlés nélküli variáció

Legyen n egymástól különböző elemünk. Ha ezekből k (k \leq n) elemet kiválasztunk minden lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére tekintettel vagyunk, akkor az n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációját kapjuk. Jelölése: V_{n}^{k}.

Most, hogy a fogalmat már ismerjük a következő lépés az, hogy megtudjuk hogyan kell kiszámolni n elem összes k-ad osztályú ismétlés nélküli variációnak a számát.

V_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k)!}= n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1).

Azaz n elem összes k-ad osztáylú ismétléses variációinak a száma megegyezik az n faktoriális és n-k faktoriális hányadosával.

Most pedig nézzük a feladatokat!

Ismétlés nélküli variácó feladatok megoldással

Mind az ismétlés nélküli, mind az ismétléses variáció feladatok ugyanúgy fognak felépülni: az első tabon található a megoldás. A második tabon egy kis segítség, ezt csak akkor olvasd el, ha úgy gondolod magadtól nem tudod megoldani a feladtot. Az utolsó tabon pedig a megoldás látható.

Nézzük is az első feladatot

Ki szeretnénk festeni a szobánk 4 falát. Találunk a pincében hat fajta festéket: fehéret, sárgát, lilát, kéket, szürkét és feketét. A színeket nem keverhetjük össze és egy falra csak egyféle színt használhatunk. Hányféleképpen festhetjük ki a szobánkat, ha minden falat más színűre akarjuk festeni?

Honnan tudjuk, ha egy feladat megoldásához ismétlés nélküli variációt kell használni?
Két dologra kell figyelni: n elemből választunk ki k-t. Ez megvan, hiszen az összes festék közül választunk négyet, amivel festünk.
Továbbá az elemek sorrendjére is tekintettel vagyunk, hiszen ha az ajtónál lévő falat festem fehérre és a vele szemben lévőt sárágra, vagy az ajtónál lévőt sárgára és a szemben lévőt fehérre, akkor különböző módon néz ki a szobánk.

A feladatban 6 festéék közül választunk négyet, tehát n = 6 és k = 4 . Tehát a V_{6}^{4}-t keressük. A megoldás tehát a képletbe behelyettesítés segítségével:

V_{6}^{4}  = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \cdot \ldots \cdot  (6-4+1) = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360.

Hány háromjegyű szám készíthető az 1, 3, 5, 7, 9 számjegyekből, ha egy számjegyet csak egyszer használhatunk fel?

Az előző feladathoz hasonlóan ellenőrizzük itt is a két feltételt:

Igaz, hogy n elemből választunk k-t, hiszen a felsorolt számjegyekből választunk 3-at.

Továbbá az is igaz, a sorrendre tekintettel vagyunk, hiszen ha változtatjuk a kiválasztott számjegyek sorrendjét más-más háromjegyű számot kapunk.

A feladatban 5 számjegyünk van, de csak háromjegyű számot akarunk készíteni. Vagyis az 5 számjegy közül kell kiválasztanunk 3-at, így n=5 és k=3. Tehát a V_{5}^{3}-t keressük. A megoldás a képlet segítségével:

V_{5}^{3} = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \cdot \ldots \cdot  (5-3+1) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60.

Most pedig vizsgáljuk meg az ismétléses variációt.

Ismétléses variáció

Legyen n egymástól különböző elemünk. Ha ezekből k elemet kiválasztunk minden lehetséges módon úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére tekintettel vagyunk és ugyanazt az elemet többször is kiválaszthatjuk, akkor az n elem k-ad osztályú ismétléses variációját kapjuk. Jelölése: V_{n}^{k,i}.

Az ismétléses variáció esetén is fontos azt tudnunk, hogy hogyan lehet az n elem összes k-ad osztályú ismétléses variációját kiszámolni:

 V_{n}^{k,i} = n^{k}

Azaz az n elem összes k-ad osztályú ismétléses variációjának száma n a k-adikon.

Nézzük itt is a feladatokat!

Ismétléses variácó feladatok megoldással

Ki szeretnénk festeni a szobánk 4 falát. Találunk a pincében három fajta festéket: fehéret, pirosat és rózsaszínt. A színeket nem keverhetjük össze és egy falra csak egyféle színt használhatunk. Hányféleképpen festhetjük ki a szobánkat?

Láthatjuk, hogy ez a feladat nagyon hasonlít az első ismétlés nélküli variáció feladatra. A különbség itt azonban az, hogy nincs kikötve, hogy egy színt csak egyszer használhatunk. Pontosan emiatt ez már egy ismétléses variáció feladat lesz, ahol a 3 féle festékből kell választanunk 4-szer, úgy, hogy egy festéket többször is választhatunk. (Sőt, egyet többször is kell hiszen csak 3 különböző van a 4 falra.)

A feladatban 3 festék van és 4 fal, azaz n=3 és k=4. Tehát a V_{3}^{4,i}-t keressük. A megoldás a képletbe behelyettesítés segítségével:

V_{3}^{4,i} = 3^{4} = 81.

Hány háromjegyű szám készíthető az 1, 3, 5, 7, 9 számjegyekből, ha egy számjegyet többször is felhasználhatunk?

Láthatjuk itt is, hogy az ismétlés nélküli variációs feladathoz képest a különbség az, hogy választhatunk egy számjegyet többször is. Azaz ez egy ismétléses variáció feladat lesz.

A feladatban 5 számjegyünk van, de csak háromjegyű számot akarunk készíteni. Vagyis az 5 számjegy közül kell kiválasztanunk 3-at, így n=5 és k=3. Így a V_{5}^{3.i}-t keressük. A megoldás a képlet segítségével:

V_{5}^{3.i} = 5^3 = 125.