A kocka térfogata és felszíne

A kocka egy olyan téglatest,amelynek minden éle egyenlő. A kocka az öt szabályos test egyike, így minden éle, élszöge és lapszöge egyenlő. Élszögei és lapszögei egyaránt 90 fokosak.

A kockának 8 csúcsa, 12 azonos hosszúságú éle és 6 egybevágó lapja van. Oldalai a oldalhosszúságú négyzetek.

Jelöljük a kocka oldalainak átlóját d-vel. A testátlóját pedig D-vel. Ezeket a következőképpen kaphatjuk meg, ha ismerjük az kocka oldalhosszát:

(1)   \begin{equation*}d=a*\sqrt{2} \end{equation*}


(2)   \begin{equation*}D=a*\sqrt{3} \end{equation*}

Kocka térfogata

A kocka térfogata

A kocka térfogata legegyszerűbben az oldalak szorzataként kapható meg.

(3)   \begin{equation*}V=a^3 \end{equation*}

Feladatmegoldás során azonban előfordulhat, hogy nincsen megadva az oldhosszúság, csak a lapátló vagy a testátló hossza. Ezekben az esetekben két lehetőségünk van: kiszámíthatjuk az oldal hosszát és onnan alkalmazzuk a fentebbi képletet, vagy pedig használhatjuk az alábbi képleteket.

(4)   \begin{equation*}V=\frac{d^3 }{\sqrt{8}} \end{equation*}


(5)   \begin{equation*}V=\frac{D^3 }{\sqrt{27}} \end{equation*}

A kocka felszíne

A kocka felszíne a hat határoló négyzet területének összegeként számítható ki.

(6)   \begin{equation*}A=6*a^2 \end{equation*}

A térfogathoz hasonlóan itt is előfordulhat, hogy a lapátló vagy a testátló adott. Itt a felhasználható képletek a következők:

(7)   \begin{equation*}A=3*d^2 \end{equation*}


(8)   \begin{equation*}A=3*D^2 \end{equation*}

A kocka további tulajdonságai

Minden kocka köré írható egy gömb. Ennek a gömbnek a sugara a testátlónak a felével egyezik meg.

(9)   \begin{equation*}R=\frac{ \sqrt{3}*a }{2} \end{equation*}

A kockába is írtható egy gömb, ennek pedig az oldalhosszúság felével egyezik meg a sugara.

(10)   \begin{equation*}r=\frac{a}{2} \end{equation*}

Legnagyobb síkmetszete egy olyan téglalap, amelynek egyik oldala a kocka egy éle, másik oldala a kocka egy testátlója.

Legnagyobb, háromszöget adó síkmetszete egy olyan szabályos háromszög, amelynek oldalai a kocka egymáshoz csatlakozó lapátlói.