Prímszámok

Azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek pontosan két pozitív osztója van, prímszámoknak nevezzük. Például: 2, 3, 5, 7.

Végtelen sok prímszám létezik.

Most pedig nézzük meg három nagyon gyakori prímszámokkal kapcsolatos kérdést – és a helyes választ rájuk.

Prímszám-e az 1?

Az 1 nem prímszám, mert csak 1 darab osztója van: önmaga.

Prímszám-e a 0?

A 0 nem prímszám, mert végtelen sok osztója van.

Mi a legkisebb prímszám?

A legkisebb prímszám a 2. 

Prímtényezős felbontás

A prímszámoknak rengeteg különféle alkalmazása létezik, ezek közül fogunk megnézni most egyet.

A számelmélet alaptétele

A számelmélet alaptétele a következőt mondja ki: bármely összetett szám felírható prímszámok szorzataként, és ez a felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Ezt nevezzük prímtényezős felbontásnak vagy más néven kanonikus alaknak.

n = p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot p_{2}^{{\alpha_{2}}} \cdot p_{3}^{\alpha_{3}} \cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha_{k}}

A p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots, p_{1} különböző prímek, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots, \alpha_{k} pedig nemnegatív egész számok. Ekkor az n szám prímosztói: p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots, p_{k}

Példa prímtényezős felbontásra:

1960 = 2^{3} \cdot 5 \cdot 7^{2}

A prímtényezős felbontást használjuk fel a legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó kiszámításakor is.